Combinatoria

por John von Neumann jr Qui 26 maio 2016, 21:24

Quantos anagramas da palavra vetor possuem as vogais separadas?
Gab=72

por Matemathiago Qui 26 maio 2016, 21:46

Vetor
Vetro
Verto
Verot
Até aqui, foram 4.
Com o Vo na frente, +4
Com Re na frente, + 4
Com Ro na frente, + 4
Com Te na frente, +4
Com To na frente, +4
No total: 24

Evort
Evotr
Evrot
Evtor
Evrto
Evtro

Até aqui, 6.
Com Et na frente, +6
Com Er na frente, + 6
No total: 18

Começando com Ov + 6
Ot +6
Or + 6
No total: 18

Vreto
Vrote
Vtore
Vtero
Até aqui, foram 4.
Com t na frente +4
Com r na frente +4
No total 12.

Somando as possibilidades:
24 + 18 + 18 + 12
= 24 + 36 + 12
= 60 + 12 = 72

Resolvi dessa forma, mas tem usando princípios de análise combinatória e algumas fórmulas.

por **rodrigoneves** Qui 26 maio 2016, 21:49

O total de anagramas é 5! = 120.
Com as vogais juntas, podemos considerá-las, em conjunto, como uma única letra. Neste caso, permutando 4 letras obteremos 4! = 24 anagramas; no entanto, podem aparecer em ambas as ordens ("eo" ou "oe"), por isso multiplicamos o resultado por dois: 2 x 24 = 48.
Ou seja, a palavra tem 120 anagramas, em 48 dos quais as vogais aparecem juntas.
Assim, aparecem separadas nos demais: 120 - 48 = 72.

por John von Neumann jr Qui 26 maio 2016, 22:11

Não entendi,duas vogais não ocupariam 2 posições?

por **rodrigoneves** Qui 26 maio 2016, 22:20

Como as vogais estão sempre juntas, elas duas, em conjunto, podem ser entendidas como uma só letra. Isso porque, embora possamos movê-las entre as demais letras, nunca poderemos fazê-lo de modo que elas não estejam lado a lado.
Portanto, há dois casos:
1) Permutar os 4 símbolos: v, t, r, oe;
2) permutar os 4 símbolos: v, t, r, eo.
Para cada caso serão 4! = 24 anagramas, totalizando 48 anagramas com as vogais juntas.
Sendo 120 no total, portanto, elas aparecem separadas em 120 - 48 = 72 deles.