Limite com várias variáveis

por ViniciusAlmeida12 Dom 22 maio 2016, 09:28

Prove que o limite não existe
Limite com várias variáveis Zjxe88

por trindadde Sex 01 Jul 2016, 17:38

Olá!

Para funções de várias variáveis, se o limite existe, então por quaisquer dois caminhos (funções vetoriais) distintos que se tome, o resultado deve ser o mesmo, pois o limite (quando existe) é único. Sendo assim, se tomar 2 caminhos distintos e chegar a valores distintos de limites, podemos concluir que tal limite não existe.

Faça o teste para os caminhos mais comuns:

$\\ \gamma(t)=(0,t,0)\\ \gamma(t)=(0,t,t)\\ \gamma(t)=(t,0,0) \\ \gamma(t)=(t,0,t)$

Estes são alguns exemplos. Veja que em todos eles o limite é zero. Daí nada podemos concluir utilizando o resultado que citei no início. Agora, experimente tomar o caminho $\gamma(t)=(t,t,0)$ . Daí teremos o seguinte:

$\lim_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}{\dfrac{xy+xz^2+yz^2}{x^2+y^2+z^4}}= \lim_{t\rightarrow 0}f(\gamma(t)) \Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{t\cdot t+t\cdot 0^2+t\cdot 0^2}{ t^2+t^2+0^4}= \\ \\ =\lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{t^2}{2t^2} = \lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \neq 0$

Portanto, encontramos dois caminhos distintos chegando a valores distintos de limites.

Logo, o limite em questão não existe!

Bons estudos!

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