PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Atrito em grãos

4 participantes

Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Atrito em grãos

Mensagem por Muá Qua 18 maio 2016, 19:20

De um ponto O, através de canais, situados num plano vertical, que formam diferentes ângulos com a vertical, simultaneamente começam a deslizar grãos de areia. O lugar geométrico dos pontos, nos quais se encontram os grãos de areia, é uma circunferência com centro que varia de posição com o tempo t. 

Se o coeficiente de atrito entre um grão e o canal é u, o raio da circunferência no tempo t é:

A) Atrito em grãos Gif
B) Atrito em grãos Gif
C) Atrito em grãos Gif
D) Atrito em grãos Gif
E) Atrito em grãos Gif

Não consegui visualizar sequer a situação.

Muá
Iniciante

Mensagens : 30
Data de inscrição : 31/01/2016
Idade : 25
Localização : São Paulo, SP, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por gilberto97 Qui 19 maio 2016, 11:27

A situação é a seguinte: Cada grão pode ser imaginado como um bloco de massa m que desce um "plano inclinado". Imagine vários grãos e vários "planos". Em um plano inclinado com atrito, agem as seguintes forças: 

Atrito em grãos Plano-inclinado-2
Sendo assim, como o grão desce (consegue se movimentar, logo o atrito é dinâmico), pela segunda lei de Newton:

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

Da expressão acima para a aceleração, veja que quanto maior for o ângulo, maior também será a aceleração e quanto menor o ângulo, menor a aceleração. Podemos imaginar a seguinte configuração:

Atrito em grãos E0mywn

Veja que a cada instante muda a circunferência que passa pelos pontos/grãos naquele instante. 

Temos que provar isso. Para a aceleração que encontramos, existe uma projeção vertical e outra horizontal. Ambas podem ser encontradas em função de Atrito em grãos Gif, visto que formam um triângulo de vetores.

Atrito em grãos 2hfl2m9

Da trigonometria, segue que 

Atrito em grãos Gif.latex?a_%7Bx%7D%3Da

Atrito em grãos Gif.latex?a_%7By%7D%3Da.

Devido a essas acelerações, um grão irá deslocar-se tanto na direção x como na direção y. Trabalharei com x, mas é possível trabalhar com y, o resultado será o mesmo!

A velocidade inicial de cada grão é nula, assim a expressão para o deslocamento é 

Atrito em grãos Gif

Para um determinado ponto P(x;y), onde encontra-se um grão qualquer, vale a seguinte relação:

Atrito em grãos Gif

Então, a aceleração na direção horizontal, em função de x e y, será

Atrito em grãos Gif

Substituindo as relações anteriores:

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

Atrito em grãos Gif

A equação acima é de uma circunferência cujo centro varia com o tempo, assim como seu raio, dado por Atrito em grãos Gif. Alternativa C.

EDIÇÃO: O centro da circunferência acima está no segundo quadrante. No entanto, existem outras circunferências cujos centros estão no quarto quadrante. Essas SIM são o lugar geométrico citado. A verdadeira equação geral é a seguinte:


Atrito em grãos Gif


Note que a primeira equação iria satisfazer totalmente se os grãos terminassem a trajetória no ponto O. Como é em O que eles começam, o lugar geométrico desses grãos é simétrico ao primeiro.
Obs: Isso não afeta diretamente a questão em si, visto que ele pede apenas o raio da circunferência em função do tempo t.


Última edição por gilberto97 em Sex 20 maio 2016, 00:47, editado 3 vez(es) (Motivo da edição : Ajustes algébricos e esclarecimentos)
gilberto97
gilberto97
Fera
Fera

Mensagens : 590
Data de inscrição : 12/03/2014
Idade : 27
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por Muá Qui 19 maio 2016, 18:42

Não entendi o porque do seno e do cosseno serem negativos. Poderia explicar, por favor?

Muá
Iniciante

Mensagens : 30
Data de inscrição : 31/01/2016
Idade : 25
Localização : São Paulo, SP, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por Ashitaka Qui 19 maio 2016, 21:52

Na verdade, tanto faz se você os toma como positivo ou negativo e isso é nítido quando se joga na expressão de ax.
Esse exercício é muito interessante; de onde tirou-o?
Ashitaka
Ashitaka
Monitor
Monitor

Mensagens : 4365
Data de inscrição : 12/03/2013
Localização : São Paulo

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por gilberto97 Sex 20 maio 2016, 00:44

Muá escreveu:Não entendi o porque do seno e do cosseno serem negativos. Poderia explicar, por favor?
Como já foi dito acima, tanto faz. Se você considerar os valores de x e y em módulo, utilize o +, pois o ângulo alfa está no primeiro quadrante (seno, cosseno e tangente positivos). Vou fazer uma edição para não confundir.
gilberto97
gilberto97
Fera
Fera

Mensagens : 590
Data de inscrição : 12/03/2014
Idade : 27
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por Muá Sex 20 maio 2016, 11:05

Ashitaka, tirei de um material do Farias Brito, é muito boa mesmo.

Obrigado pela resolução, Gilberto.

Muá
Iniciante

Mensagens : 30
Data de inscrição : 31/01/2016
Idade : 25
Localização : São Paulo, SP, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por Tiago Medeiros Silva Sáb 06 maio 2017, 14:32

Alguém pode explicar por favor o q ele fez dps de ter achado o valor de x?o resto deu pra entender.urgente pfv

Tiago Medeiros Silva
Iniciante

Mensagens : 23
Data de inscrição : 13/03/2017
Idade : 23
Localização : São paulo

Ir para o topo Ir para baixo

Atrito em grãos Empty Re: Atrito em grãos

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo

- Tópicos semelhantes

 
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos