Atrito em grãos
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Atrito em grãos
De um ponto O, através de canais, situados num plano vertical, que formam diferentes ângulos com a vertical, simultaneamente começam a deslizar grãos de areia. O lugar geométrico dos pontos, nos quais se encontram os grãos de areia, é uma circunferência com centro que varia de posição com o tempo t.
Se o coeficiente de atrito entre um grão e o canal é u, o raio da circunferência no tempo t é:
A)
B)
C)
D)
E)
Não consegui visualizar sequer a situação.
Se o coeficiente de atrito entre um grão e o canal é u, o raio da circunferência no tempo t é:
A)
B)
C)
D)
E)
Não consegui visualizar sequer a situação.
Muá- Iniciante
- Mensagens : 30
Data de inscrição : 31/01/2016
Idade : 25
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Atrito em grãos
A situação é a seguinte: Cada grão pode ser imaginado como um bloco de massa m que desce um "plano inclinado". Imagine vários grãos e vários "planos". Em um plano inclinado com atrito, agem as seguintes forças:
Sendo assim, como o grão desce (consegue se movimentar, logo o atrito é dinâmico), pela segunda lei de Newton:
Da expressão acima para a aceleração, veja que quanto maior for o ângulo, maior também será a aceleração e quanto menor o ângulo, menor a aceleração. Podemos imaginar a seguinte configuração:
Veja que a cada instante muda a circunferência que passa pelos pontos/grãos naquele instante.
Temos que provar isso. Para a aceleração que encontramos, existe uma projeção vertical e outra horizontal. Ambas podem ser encontradas em função de , visto que formam um triângulo de vetores.
Da trigonometria, segue que
.
Devido a essas acelerações, um grão irá deslocar-se tanto na direção x como na direção y. Trabalharei com x, mas é possível trabalhar com y, o resultado será o mesmo!
A velocidade inicial de cada grão é nula, assim a expressão para o deslocamento é
Para um determinado ponto P(x;y), onde encontra-se um grão qualquer, vale a seguinte relação:
Então, a aceleração na direção horizontal, em função de x e y, será
Substituindo as relações anteriores:
A equação acima é de uma circunferência cujo centro varia com o tempo, assim como seu raio, dado por . Alternativa C.
EDIÇÃO: O centro da circunferência acima está no segundo quadrante. No entanto, existem outras circunferências cujos centros estão no quarto quadrante. Essas SIM são o lugar geométrico citado. A verdadeira equação geral é a seguinte:
Sendo assim, como o grão desce (consegue se movimentar, logo o atrito é dinâmico), pela segunda lei de Newton:
Da expressão acima para a aceleração, veja que quanto maior for o ângulo, maior também será a aceleração e quanto menor o ângulo, menor a aceleração. Podemos imaginar a seguinte configuração:
Veja que a cada instante muda a circunferência que passa pelos pontos/grãos naquele instante.
Temos que provar isso. Para a aceleração que encontramos, existe uma projeção vertical e outra horizontal. Ambas podem ser encontradas em função de , visto que formam um triângulo de vetores.
Da trigonometria, segue que
.
Devido a essas acelerações, um grão irá deslocar-se tanto na direção x como na direção y. Trabalharei com x, mas é possível trabalhar com y, o resultado será o mesmo!
A velocidade inicial de cada grão é nula, assim a expressão para o deslocamento é
Para um determinado ponto P(x;y), onde encontra-se um grão qualquer, vale a seguinte relação:
Então, a aceleração na direção horizontal, em função de x e y, será
Substituindo as relações anteriores:
A equação acima é de uma circunferência cujo centro varia com o tempo, assim como seu raio, dado por . Alternativa C.
EDIÇÃO: O centro da circunferência acima está no segundo quadrante. No entanto, existem outras circunferências cujos centros estão no quarto quadrante. Essas SIM são o lugar geométrico citado. A verdadeira equação geral é a seguinte:
Note que a primeira equação iria satisfazer totalmente se os grãos terminassem a trajetória no ponto O. Como é em O que eles começam, o lugar geométrico desses grãos é simétrico ao primeiro.
Obs: Isso não afeta diretamente a questão em si, visto que ele pede apenas o raio da circunferência em função do tempo t.
Última edição por gilberto97 em Sex 20 maio 2016, 00:47, editado 3 vez(es) (Motivo da edição : Ajustes algébricos e esclarecimentos)
gilberto97- Fera
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Idade : 27
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil
Re: Atrito em grãos
Não entendi o porque do seno e do cosseno serem negativos. Poderia explicar, por favor?
Muá- Iniciante
- Mensagens : 30
Data de inscrição : 31/01/2016
Idade : 25
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Atrito em grãos
Na verdade, tanto faz se você os toma como positivo ou negativo e isso é nítido quando se joga na expressão de ax.
Esse exercício é muito interessante; de onde tirou-o?
Esse exercício é muito interessante; de onde tirou-o?
Ashitaka- Monitor
- Mensagens : 4365
Data de inscrição : 12/03/2013
Localização : São Paulo
Re: Atrito em grãos
Como já foi dito acima, tanto faz. Se você considerar os valores de x e y em módulo, utilize o +, pois o ângulo alfa está no primeiro quadrante (seno, cosseno e tangente positivos). Vou fazer uma edição para não confundir.Muá escreveu:Não entendi o porque do seno e do cosseno serem negativos. Poderia explicar, por favor?
gilberto97- Fera
- Mensagens : 590
Data de inscrição : 12/03/2014
Idade : 27
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil
Re: Atrito em grãos
Ashitaka, tirei de um material do Farias Brito, é muito boa mesmo.
Obrigado pela resolução, Gilberto.
Obrigado pela resolução, Gilberto.
Muá- Iniciante
- Mensagens : 30
Data de inscrição : 31/01/2016
Idade : 25
Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Atrito em grãos
Alguém pode explicar por favor o q ele fez dps de ter achado o valor de x?o resto deu pra entender.urgente pfv
Tiago Medeiros Silva- Iniciante
- Mensagens : 23
Data de inscrição : 13/03/2017
Idade : 23
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