(FUVEST) Equação polinomial

por Carolziiinhaaah Qui 27 Jan 2011, 18:53

Suponha que o polinômio do 3o grau p(x) = x^3 + x^2 + mx + n onde m e n são números reais, seja divisível por x -1.

a) determine m para que p(x) admita raiz dupla diferente de 1.
b) Que condições m deve satisfazer para que p(x) admita três raízes reais e distintas?

gabarito: a) m = -1
b) m < -1 e m ≠ -5

por WladimirC Qui 27 Jan 2011, 23:07

Estou cometendo idiotice nessa questão. Mas uma hora vai!

por WladimirC Qui 27 Jan 2011, 23:43

Se é divisível por x-1, então P(1)=0. Logo:

1³ + 1² + m + n= 0
2 + m + n= 0
m + n= -2

Sendo p a raiz dupla e q a outra raiz, por relação de Girard temos:

2p + q= -1 ---> q= -1 - 2p (1)
p² + 2pq= m (2)
p²q= -n (3)

Subtraindo 3 de 2 temos:

p² + 2pq - p²q= -2

Substituindo 1 em 2, temos:

p² + 2p(-1 - 2p) - p²(-1 - 2p)= -2. Fazendo os devidos cálculos:
p³ - p² - p= -1
p³ - p² - p + 1= 0. Deduzimos que uma das raizes será -1. Por Briot-Ruffini, obtemos:
p² - 2p + 1= 0. Para essa equação, encontramos uma raiz dupla igual a 1.

Adotando p= -1, pela equação (1):
q= -1 - 2p
q= -1 - 2(-1)
q= 1

Substituindo os valores na equação (2), obtemos:

p² + 2pq= m
(-1)² + 2(-1)1= m
m= 1 + (-2)
m= -1

Agora, a questão b emperrou...