Gravitação

UEFS - Depois de sua formulação das leis de movimentos, a segunda, e talvez a maior, contribuição de Newton para o desenvolvimento da Mecânica foi a descoberta da interação gravitacional, isto é, a interação entre dois corpos, planetas ou partículas, que produz um movimento que pode ser descrito pelas leis de Kepler. Com base nos conhecimentos sobre a Gravitação Universal, é correto afirmar: 

A) A força associada à interação gravitacional nem sempre age ao longo da linha que une os dois corpos em interação, de acordo com a lei dos períodos. 
B) A primeira lei de Kepler afirma que a órbita de um planeta é elíptica ou hiperbólica.
C) A velocidade de escape é a velocidade máxima com a qual um corpo deve ser lançado da Terra, para alcançar o infinito. D) A velocidade que um corpo, abandonado a uma distância r, do centro da Terra, quando atingir superfície terrestre, é dada por  , em que g é a aceleração da gravidade nessa superfície. 
E) A depender de sua massa, todos os corpos, em um mesmo lugar de um campo gravitacional, ficam sujeitos a diferentes acelerações. 

GABARITO:D
Alguém pode, por favor, me explicar detalhadamente a resolução dessa alternativa? Desde já agradeço.

Boa tarde, Victória. Tudo bem?

Por conservação de energia:

-GMm/r = (mv²/2) - GMm/R
v²/2 = (GM/R) - (GM/r) = GM((1/R) - (1/r))

Mas note que:

F = GMm/R²
mg = GMm/R²
g = GM/R²
gR² = GM

Então:

v²/2 = gR²((1/R) - (1/r))
v² = 2gR²((1/R) - (1/r))
v = √(2gR²((1/R) - (1/r))
v = R√(2g((1/R) - (1/r))

Qualquer dúvida é só perguntar; estou a disposição.

Nossa, obrigada Christian.Gostei do fórum.Que rapidez.

Muito bom!