Angulos internos

por invertor Dom 01 maio 2016, 21:44

Determinar os ângulos internos de um triângulo ABC, sendo A(3, −3, 3), B(2, −1, 2) e C(1, 0, 2)

por **Baltuilhe** Dom 01 maio 2016, 22:59

Boa noite!

Montando os vetores:
\\\vec{AB}=(2-3,-1-(-3),2-3)=(-1,2,-1)\\\vec{AC}=(1-3,0-(-3),2-3)=(-2,3,-1)\\\vec{BC}=(1-2,0-(-1),2-2)=(-1,1,0)

Calculando as normas:
\\||\vec{AB}||=\sqrt{1^2+2^2+1^1}=\sqrt{6}\\||\vec{AC}||=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\\||\vec{BC}||=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}

Agora que temos os 3 vetores podemos calcular os ângulos internos do triângulo.
Entre \vec{AB} e \vec{AC}:
\\\cos\alpha=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{||\vec{AB}||\;||\vec{AC}||}=\frac{(-1)(-2)+(2)(3)+(-1)(-1)}{\sqrt{6}\sqrt{14}}=\frac{9}{\sqrt{84}}\\\boxed{\alpha\approx{10,89^\circ}}

Entre \vec{BA} e \vec{BC}:
\\\cos\beta=\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{||\vec{BA}||\;||\vec{BC}||}=\frac{(1)(-1)+(-2)(1)+(1)(0)}{\sqrt{6}\sqrt{2}}=\frac{-3}{\sqrt{12}}\\\boxed{\beta={150^\circ}}

Entre \vec{CA} e \vec{CB}:
\\\cos\gamma=\frac{\vec{CA}\cdot\vec{CB}}{||\vec{CA}||\;||\vec{CB}||}=\frac{(2)(1)+(-3)(-1)+(1)(0)}{\sqrt{14}\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{28}}\\\boxed{\gamma\approx{19,11^\circ}}

Espero ter ajudado!

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