UFRGS- Equação exponencial

por EmilyLebrock Dom 01 maio 2016, 09:24

A solução da equação 2^-x+1=2^x pertence ao intervalo

a) [-1,0]
b) [0,1]
c) [1,2]
d) [2,3]
e) [3,4]
Resposta:b

Agradeço desde já.

por **laurorio** Dom 01 maio 2016, 09:55

por EmilyLebrock Dom 01 maio 2016, 10:12

Desculpe-me, mas não entendi como você chegou a 2^-x+1= 2^x .

por **laurorio** Dom 01 maio 2016, 10:21

Você tem certeza que o enunciado está correto?

2^(-x) + 1 = 2^x

É isso , ou 2^(-x+1) = 2^x

por EmilyLebrock Dom 01 maio 2016, 10:33

Enunciado está certo, é 2^(-x) +1= 2^x

por **ivomilton** Dom 01 maio 2016, 12:08

EmilyLebrock escreveu:Enunciado está certo, é 2^(-x) +1= 2^x

Bom dia, Emily.

2^-x + 1 = 2^x
1/2^x+ 1 = 2^x

1/2^x= 2^x- 1
1 = 2^x(2^x - 1)

2²^x - 2^x- 1 = 0

Equação biquadrada; façamos y=2^x:
y² - y - 1 = 0

Resolvendo por Bhaskara, fica:
y'= (1+√5)/2
y" desprezamos por ser negativa

Retornando de y para 2^x,temos:
2^x= (1+√5)/2

Prosseguindo, passamos para logaritmos:
x.log2 = log(1+√5) - log2

...... log(1+√5) - log2
x = ---------------------
............... log2

..... 0,510017636 - 0,30103
x = ----------------------------
................. 0,30103

x = 0,694241914

Alternativa (b)

Um abraço.

por **laurorio** Dom 01 maio 2016, 12:59

A questão forneceu o valor do log(2) ou do log(5)? Se não, com certeza não é isso.

por EmilyLebrock Dom 01 maio 2016, 13:34

ivomilton escreveu:
Prosseguindo, passamos para logaritmos:
x.log2 = log(1+√5) - log2

...... log(1+√5) - log2
x = ---------------------
............... log2

..... 0,510017636 - 0,30103
x = ----------------------------
................. 0,30103

x = 0,694241914

Não consegui entender a partir desta parte, poderia me explicar novamente ?
Gostaria de entender, também, por que é necessário usar o logaritmo ?

por **ivomilton** Dom 01 maio 2016, 18:58

Boa noite, Emily.

Isso vem a partir de:
2^x= (1+√5)/2

Prosseguindo, passamos para logaritmos:
2^xpassa como x.logx ;
(1+√5)/2 passa como log(1+√5) - log(2) porque em logaritmos divisão se transforma em subtração de logaritmos.

Então, fica:

x.log2 = log(1+√5) - log2

...... log(1+√5) - log2
x = ---------------------
............... log2

Log(1+√5) peguei do EXCEL e log(2) é bastante conhecido como sendo 0,30103:

..... 0,510017636 - 0,30103
x = ----------------------------
................. 0,30103

x = 0,694241914

Não sei lhe dizer se esta solução é válida, por ter sido necessário pegar o valor dos logaritmos de valores que não constam do texto da questão.
Entretanto, não conheço outra maneira de continuar, a partir de 2^x= (1+√5)/2.
Poderia ter chegado até 2^x+1= 1+√5, mas daí em diante não conheço outro caminho para chegar ao resultado.

Um abraço.