(CN) Dois círculos tangentes

(CN 1980) A razão entre as áreas de dois círculos tangentes exteriores dá 9 e a soma dos comprimentos de suas circunferências 8 pi cm . Uma tangente comum aos dois círculos corta a reta que contém os dois centros em um ponto exterior P que está a uma distância do centro do círculo maior de:

(A) 5 cm
(B) 7 cm
(C) 4 cm
(D) 3 cm
(E) 6 cm

Sejam R, r os raios maior e menor:

pi*R²/pi*r² = 9 ----> R²/r² = 9 ----> R/r = 3 ---> R = 3r

2*pi*R + 2*pi*r = 8*pi ----> 2*(3r) + 2*r = 8 ---> r = 1 ----> R = 3

Faça agora um desenho dos dois círculos tangentes de centros A (maior) e B (menor).
Desenhe a reta tangente pelos pontos C e D da menor e da maior
Trace a reta que une A e B e prolongue-a até encontrar a reta tangente no ponto P
Trace os raios AD e BC (perpendiculares à reta tangente).
Seja x a distância de P até o cruzamento de ABP com a menor

Triângulos retângulos PCD e PDA são semelhantes: AD/AP = BC/BP ---> R/(R + 2r + x) = r/(r + x) ----->

Rr + Rx = Rr + 2r² + rx ----> (R - r)*x = 2r² ----> x = 2r²/(R - r) ----> x = 2*1²/(3 - 1) ----> x = 1

AP = R + 2r + x ----> AP = 3 + 2*1 + 1 ----> AP = 6