Função trigonométrica

Determine o período e a imagem da função trigonométrica definida por:
f(x)=2.senx-cosx

Resposta:
P=2pi
Im=[-V5;+V5]

:evil:

O período de senx e cosx é 2pi cada, e o período de f(x) é o mmc dos períodos, ou seja, 2pi.

Seja θ tal que senθ = 2/√5 e cosθ = 1/√5
f(x) = 2senx-cosx = √5*(2/√5 * senx - 1/√5 * cosx) = -√5*cos(x + θ).

Como cos(x+θ) varia de -1 a 1, f(x) variará de -√5 a √5.

Obrigado!!!

Não entendi de onde saiu ; alguém pode dar uma ajuda?

Christian M. Martins escreveu:Não entendi de onde saiu ; alguém pode dar uma ajuda?

f(x) = 2sen x - cos x = -(raiz de 5). cos(x+ tetha)

O valor máximo de cos (x+theta) = 1
O valor mínimo de cos ( x + theta) = -1 

O valor máximo de f(x) ocorre quando cos(x+ theta) = -1, pois nesse caso:
f(x) = - (raiz de 5) .cos (x+theta)  = -(raiz de 5) . -1 = (raiz de 5)

O valor mínimo de f(x) ocorre quando cos(x + theta) = 1, pois nesse caso:
f(x) = - (raiz de 5). cos (x + theta) = -(raiz de 5). 1 = - Raiz de 5 

A imagem é limitada pelo valor máximo e mínimo, ou seja, (raiz de 5) e (-raiz de 5)
A grande jogada da questão foi empregar o novo ângulo(theta) e transformar a expressão em um produto entre um  valor constante e um cosseno...

O que não entendi foi como optou-se pelo seno e cosseno indicados na resolução do Ashitaka. Soa muito arbitrário a mim a escolha de 2/√5 e 1/√5, respectivamente; podia-se optar por QUALQUER valor!

Ele escolheu esse valor porque:
2 senx - 1cos x
2² + 1² = x²
x² = 5
x = (Raiz de 5) ---> raio da circunferência

Aí se coloca em evidência.
O seno de theta vai ser  coeficiente 2 do senx dividido pelo raio. Portanto 2/(raiz de 5)
O cosseno de theta vai ser o coeficiente de 1 do cos x dividido pelo raio. Portanto 1/(raiz de 5)

Isto é conhecido com "truque do triângulo retângulo"

Basta lembrar-se de números complexos

y = 2.senx - 1.cosx

|y|² = 2² + (-1)² ---> |y|² = 5 ---> |y| = √5

y = √5.[(2/√5).senx + (1/√5).senx)]

Considerando cosθ = 2/√5 e senθ = 1/√5 ( num triângulo retângulo 1, 2, 5):

y = √5.(cosθ.cosx - senθ.senx)

y = √5.cos(x + θ)

Elcioschin escreveu:Isto é conhecido com "truque do triângulo retângulo"

Basta lembrar-se de números complexos

y = 2.senx - 1.cosx

|y|² = 2² + (-1)² ---> |y|² = 5 ---> |y| = √5

y = √5.[(2/√5).senx + (1/√5).senx)]

Considerando cosθ = 2/√5 e senθ = 1/√5 ( num triângulo retângulo 1, 2, 5):

y = √5.(cosθ.cosx - senθ.senx)

y = √5.cos(x + θ)

Muito melhor explicado Sr. Elcioschin!
Esse "truque" é de extrema utilidade no desenvolvimento trigonométrico de algumas questões...
Alias, teria um jeito de "fugir" dessa resolução e resolver sem saber desse truque?

Com a dica do Élcio de que a técnica é conhecida por "truque do triângulo retângulo" achei o tópico abaixo:

https://pir2.forumeiros.com/t23519-fuvest-seno-cosseno

Que me auxiliou na compreensão do método. Muito obrigado pela ajuda a ambos!