Função trigonométrica

Relembrando a primeira mensagem :

Determine o período e a imagem da função trigonométrica definida por:
f(x)=2.senx-cosx

Resposta:
P=2pi
Im=[-V5;+V5]

:evil:

Consultando o tópico que o Christian compartilhou, vi uma resolução do Sr. Elcioshin com o uso de derivadas, o que acabou respondendo minha pergunta sobre haver uma outra forma de resolver!! 

Modo usando derivadas:

f(x) = 2senx - cosx
f'(x) = 2cosx + senx

f'(x) = 0:
2cosx + senx = 0
2 + tgx = 0
tg x = -2 

tg²x = 4
sen²x/cos²x = 4
sen²x/(1 -sen²x) = 4
sen²x = 4 - 4 sen²x
5sen²x = 4
sen²x = 4/5
sen x =  2/(raiz de 5) quando o valor é máx e -2/(raiz de 5) quando o valor é mín.
Quando senx  = 2/(raiz de 5), para um Vmáx, cos x = - 1/(raiz de 5)
Vmáx = 2senx - cosx = 4/(raiz de 5) + 1/(raiz de 5) = 5/(raiz de 5) =( Raiz de 5)

Quando senx  = -2/(raiz de 5), para um Vmín cos x = 1/(raiz de 5)
Vmín = 2senx - cosx = -4/(raiz de 5) - 1/(raiz de 5) = -5/(raiz de 5) = - (Raiz de 5)

Ou seja, Im =  [-(raiz de 5); (raiz de 5)]