Questões de torneira

por dani1801 Ter 12 Abr 2016, 13:43

Duas torneiras funcionando juntas conseguem encher um tanque em 4 horas. Separadamente, uma delas gasta 6 horas a mais do que a outra para encher o mesmo tanque. Qual o tempo que cada torneira gasta, funcionando sozinha, para encher o tanque

Maneira bem explicativa por favor

por **Christian M. Martins** Ter 12 Abr 2016, 14:17

As vazões V₁ e V₂ das torneiras 1 e 2, respectivamente, quando multiplicadas pelo tempo que ambas ficam ligadas, deve ser igual ao volume total do tanque:

4(V₁ + V₂) = Volume

A vazão V₁ da torneira 1 vezes o tempo x em horas que ela fica ligada deve ser igual ao volume do tanque:

xV1 = Volume

A vazão V₂ da torneira 2 vezes o tempo (6 + x) - proveniente dos dados do enunciado - em horas que ela fica ligada deve ser igual ao volume do tanque:

(6 + x)V2 = Volume

Resolvendo o sistema tem-se:

x₁ = -4 h (inválido)
x₂ = 6 h (válido)

Portanto a resposta é 6 horas e 12 horas.

por dani1801 Ter 12 Abr 2016, 14:23

Christian da onde você tirou que x1=-4h e x2=6h? Neutral

por **Christian M. Martins** Ter 12 Abr 2016, 15:10

Sendo x = V₁, y = V₂ e w = tempo:

$\\y(6 + w) = wx\\ 6y + wy = wx\\ 6y = w(x - y)\\ w = \frac{6y}{x - y} \; \; \;(I)\\ \\ \\ 4(x+y)= wx\\ 4x + 4y = wx\\ 4y = wx - 4x\\ 4y = x(w - 4)\\ y = \frac{x(w - 4)}{4} \; \; \; (II)\\ \\ \\ w = \frac{6\frac{x(w-4)}{4}}{x - \frac{x(w - 4)}{4}}\\ \\ \\ w = \frac{6\frac{x(w - 4)}{4}}{x(1 - \frac{(w - 4)}{4})}\\ \\ \\ w = \frac{\frac{6(w - 4)}{4}}{\frac{4 + 4 - w}{4}}\\ \\ \\ w = \frac{6(w - 4)}{8 - w}$

A partir daí é só cálculo básico e solução de uma equação de segundo grau.

por **ivomilton** Ter 12 Abr 2016, 15:23

dani1801 escreveu:Duas torneiras funcionando juntas conseguem encher um tanque em 4 horas. Separadamente, uma delas gasta 6 horas a mais do que a outra para encher o mesmo tanque. Qual o tempo que cada torneira gasta, funcionando sozinha, para encher o tanque

Maneira bem explicativa por favor

Boa tarde, dani.

1/x = volume que a 1ª torneira coloca no tanque, por hora.
1/(x+6) = volume que a 2ª torneira coloca no tanque, por hora.
1/4 = volume que as duas, funcionando juntas, colocam no tanque, por hora.

1/x + 1/(x+6) = 1/4

mmc(x, x+6, 4) = 4.x.(x+6)

Colocando a equação acima sobre denominador igual ao mmc, vem:
4(x+6)/mmc + 4x/mmc = x(x+6)/mmc

Multiplicando tudo pelo mmc, eliminamos os denominadores:
4(x+6) + 4x = x(x+6)
4x + 24 + 4x = x² + 6x

x² + 6x - 4x - 4x - 24 = 0
x² - 2x - 24 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtemos:
x' = 6
x" = -4 (inadequada)

Assim, o tempo que cada torneira gasta funcionando sozinha deve ser:
1ª = 6 horas (x)
2ª = 12 horas (x+6)

Um abraço.

por dani1801 Ter 12 Abr 2016, 16:02

Obrigada christian e ivo Wink

tava com dificuldade ainda estou em montar as equações de algumas questões mas já entendi esse

por **Elcioschin** Ter 12 Abr 2016, 16:20

Este tipo de questão é sempre assim

1/T = 1/T' + 1/T" + 1/T'".....

T', T", T'" .... etc. são os tempos em que cada torneira enche sozinha um tanque

T é o tempo para encher com todas juntas

Uma das torneiras (por exemplo T")pode ser substituída pelo ralo aberto do tanque; neste caso 1/T" é negativo (significa que a vazão é negativa)

1/T = 1T' - 1/T" + 1/T'" + ....

por **Christian M. Martins** Ter 12 Abr 2016, 16:25

Bom saber, Élcio! Esses padrões auxiliam MUITO o estudante; peço para que, por favor, sempre que notar alguma questão cuja resolução é recorrente, me avise!