Prova de que uma equcao e falsa

Prove que nao existe x tal que x^2 = n! - 1 com n pertencendo aos naturais e sendo maior que 2.

Não pode haver igualdade por dois motivos:

     a) x² necessariamente não é primo
     b) n! - 1 necessariamente é primo

A primeira constatação é bastante simples: se x não for primo, então obviamente x² não o é; se x for primo, x² tem 1, x e x² como divisores, portanto x² também não é primo. Logo, qualquer que seja o caso, x² é não primo.

Já a segunda exige um pouco mais de atenção.

Seja {p₁, p₂, ..., p_n} a coleção de todos os primos menores ou iguais a n.

Como n! é o produto de todos os números de 1 até n, n! também é divisível por todos os primos da coleção. Mas, então, n! - 1 deixa resto -1 na divisão por todos esses primos. Logo, n! - 1 não é divisível por nenhum dos primos anteriores da coleção, ou seja, o próprio n! - 1 é um primo fora da coleção.

É logicamente impossível um número não-primo ser igual a um primo, portanto a equação não tem solução.

Muito obrigado pela resposta, esclareceu todas minhas duvidas.