Limites

por AlfredoGuimaraes Qui 31 Mar 2016, 21:31

Calcular o limite:

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x} -1}{\sqrt[3]{1+x} -1}$

por **Carlos Adir** Qui 31 Mar 2016, 21:47

Devemos lembrar que:
$\\ \mathrm{a^3 - b^3 = \left(a-b \right )\left(a^2 + ab+b^2 \right )} \\ \mathrm{a^2 - b^2 = \left(a-b \right )\left(a+b \right )}$

Então temos cada parte:
$\\ \mathrm{1^o) \underbrace{\sqrt[3]{\mathrm{x+1}}}_{a}-\underbrace{1}_{b} =\dfrac{\left(\sqrt[3]{\mathrm{x+1}} \right )^3 - 1^3}{\sqrt[3]{\mathrm{\left(x+1 \right )^2}}+\sqrt[3]{\mathrm{x+1}}+1}=\dfrac{x}{\sqrt[3]{\mathrm{\left(x+1 \right )^2}}+\sqrt[3]{\mathrm{x+1}}+1}} \\ \mathrm{2^o) \underbrace{\mathrm{\sqrt{x+1}}}_{a}-\underbrace{1}_{b}=\dfrac{\left(\sqrt{x+1} \right )^2 - 1^2}{\sqrt{x+1}+1}=\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}}$
E podemos reescrever o limite:

$\\ \mathrm{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{\mathrm{1+x}}-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\left(\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}} \right )}{\left(\dfrac{x}{1+\sqrt[3]{\mathrm{1+x}}+\sqrt[3]{\left(\mathrm{1+x} \right )^2}} \right )}=} \\ \mathrm{=\lim_{x \to 0}\dfrac{1+\sqrt[3]{\mathrm{1+x}}+\sqrt[3]{\left(\mathrm{1+x} \right )^2}}{1+\sqrt{1+x}}=\dfrac{3}{2}}$

Há maneira de resolver por L'Hospital, mais facil, mas creio que por estares no inicio, seja necessário resolver desta maneira.

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