Trigonometria

por Papiro Insano Dom 20 Mar 2016, 16:58

Supondo que Sec x + Tg x=22/7 e que Cossec x + Cotg x=m/n, com m e n primos entre si, o valor de m+n é:
a)40
b)42
c)44
d)46
e)48
A resposta é a letra c

por **Carlos Adir** Dom 20 Mar 2016, 21:35

Façamos o seguinte:
$\mathrm{\dfrac{1}{P}=S=csc \ x + cot \ x = \dfrac{1}{sen \ x}+\dfrac{cos \ x}{sen \ x}=\dfrac{1+cos \ x}{sen \ x}}$
Contudo, temos uma relação:
$\mathrm{\dfrac{sen \ 2x}{1+cos \ 2x}=tan \ x}$
E então, usando na primeira equação que temos:
$\mathrm{tan \frac{x}{2}=\dfrac{1}{S}=P}$

Agora, outra relação entre tangente de arco duplo:
$\\ \mathrm{tan \ x = \dfrac{2tan\frac{x}{2}}{1-tan^2\frac{x}{2}}=\dfrac{2P}{1-P^2}} \\ \mathrm{\Rightarrow sen \ x = \dfrac{2P}{1+P^2}} \\ \mathrm{\Rightarrow cos \ x = \dfrac{1-P^2}{1+P^2}} \\ \mathrm{\Rightarrow sec \ x = \dfrac{1+P^2}{1-P^2}}$
Agora, resta-nos somente somar a secante com a tangente:
$\\ \mathrm{sec \ x + tan \ x = \dfrac{1+P^2}{1-P^2}+\dfrac{2P}{1-P^2}=\dfrac{(1+P)^2}{(1-P)(1+P)}=\dfrac{1+P}{1-P}}$
(Devemos nos lembrar que a tangente de x/2 é diferente de 1, verifique!)
Como esse valor equivale ao dado pelo enunciado (22/7) temos então:
$\\ \mathrm{\dfrac{1+P}{1-P}=\dfrac{22}{7} \Rightarrow P=\dfrac{15}{29} \Rightarrow S=\dfrac{29}{15}}$
Fatores primos entre si, temos sua soma que equivale a 44.

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