Inequação!

por Isa16 Seg 07 Mar 2016, 21:05

Bom dia,

Eu peguei uma lista de inequaçãozinhas pra fazer, só que não tenho exemplo algum pra tomar como base,
Essa é uma questão das da minha lista:

4 < x² - 12 ≤ 4x
A resposta correta é: 4 < x ≤ 6

Alguém pode me ajudar?
Grata desde já!

por **Carlos Adir** Seg 07 Mar 2016, 21:13

Gabarito estranho, não?
Primeira parte:
$\\ \mathrm{4 < x^2 - 12} \\ \mathrm{16 < x^2} \\ \begin{cases}\mathrm{x < -4} \\ \mathrm{ou} \\ \mathrm{x > 4} \end{cases}$
Portanto, da primeira parte é a solução:
$\mathrm{x \in \left]-\infty, \ -4 \right[ \cup \left] 4, \ +\infty\right [}$
Agora, da segunda parte:
$\\ \mathrm{x^2 - 12 \le 4x} \\ \mathrm{x^2 - 4x + 4 \le 16} \\ \mathrm{\left(x-2 \right )^2 \le 16} \\ \mathrm{-4 \le x-2 \le 4} \\ \mathrm{-2 \le x \le 6}$

A intersecção das duas resposta dá a resposta que queremos:
$\mathrm{x \in \left]4, \ 6 \right ] \ \ \ ou \ \ \ 4 < x \le 6}$

por Isa16 Seg 07 Mar 2016, 21:40

Agora, da segunda parte:
$\\ \mathrm{x^2 - 12 \le 4x} \\ \mathrm{x^2 - 4x + 4 \le 16} \\ \mathrm{\left(x-2 \right )^2 \le 16} \\ \mathrm{-4 \le x-2 \le 4} \\ \mathrm{-2 \le x \le 6}$

Carlos Adir, muito obrigada pela solução. Mas será que você poderia me explicar a segunda parte mais detalhadamente?

por **Carlos Adir** Seg 07 Mar 2016, 21:57

Sim. Posso sim.
Acontece que eu completei quadrado para resolver a questão. De uma maneira é mais dificil(pra quem não tem prática) que achar as raizes.
Mas uma outra maneira seria o seguinte:
$\\ \mathrm{x^2 - 4 x - 12 = 0} \\ \mathrm{x = 2 \pm 4} \\ \mathrm{x_1=-2, \ \ x_2 = 6}$
Esse são os extremos para nossa solução.
Vemos que x=-2, satisfaz a segunda parte, assim como para x=6.
Agora, se x=0 por exemplo, será que a inequação é satisfeita? Se sim, então o intervalo que contém o zero está dentro.
Agora, se x=-3, a inequação não será satisfeita, e então x não poderá ser menor(mais negativo) que (-2).
Agora, se x=7, a inequação não será satisfeita, e então x não poderá ser maior(mais positivo) que 6.
Portanto, na segunda parte indica que x está entre (-2) e 6.