UCSAL -Equação quadrada com várias variáveis

por leo300098 Dom 06 Mar 2016, 19:24

Se a e b são raízes não nulas da equação x²+kx+t=0 , na qual k e t são constantes reais , então uma equação do segundo grau cujas raízes são 1 \a e 1\b é :

Gabarito : tx² + kx+1 =0

por **Carlos Adir** Dom 06 Mar 2016, 19:48

$\mathrm{(x-a)(x-b)=x^2 + kx+t} \Rightarrow \begin{cases} \mathrm{a+b = -k} \\ \mathrm{ab=t}\end{cases}$
Se existe um polinômio de raizes (1/a) e (1/b) então:
$\mathrm{\left(x-\dfrac{1}{a} \right )\left(x-\dfrac{1}{b} \right )=\dfrac{\left(ax-1\right)\left(bx-1 \right )}{ab}=\dfrac{abx^2 - (b+a)x+1}{ab}}$
Usando os já obtidos, temos:
$\mathrm{\left(x-\dfrac{1}{a} \right )\left(x-\dfrac{1}{b} \right )=\dfrac{abx^2 - (b+a)x+1}{ab}=\dfrac{tx^2 +kx+1}{t}=0}$
Como t difere de zero, temos então como mesmo polinômio:
tx²+kx+1=0

por leo300098 Dom 06 Mar 2016, 21:52

Muito obrigado ! Agora essa forma que você usou : (x-a)(x-b) , por que o sinal de - e não o de mais ?

por **Carlos Adir** Seg 07 Mar 2016, 21:01

Porque é necessário o negativo.
Por exemplo, se um polinômio tem raizes 2 e 3:
$\mathrm{\left(x-2 \right )\left(x-3 \right )}$
Teoricamente, para valores de 2 e de 3, deve anular, e se for o sinal de negativo ocorre:
$\\ \mathrm{Se \ x=2 \Rightarrow \underbrace{\left(2-2 \right )}_{0}\left(2-3 \right )=0} \\ \mathrm{Se \ x=3 \Rightarrow \left(3-2 \right )\underbrace{\left(3-3 \right )}_{0}=0}$
Caso fosse positivo, então não anularia:
$\\ \mathrm{Se \ x=2 \Rightarrow \underbrace{\left(2+2 \right )}_{\ne 0}\left(2+3 \right )\ne 0} \\ \mathrm{Se \ x=3 \Rightarrow \left(3+2 \right )\underbrace{\left(3+3 \right )}_{\ne 0}\ne 0}$

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