Integral Imprópria

por Johannes Sex 04 Mar 2016, 15:24

Como resolvo essa integral?

∫dv/((1+v²)(1+tgˉ¹v))

O meu problema é com esse denominador, a resolução mostra que o resultado é dado por ln|1+tgˉ¹v|, eu sei que a integral de dv/1+v² é tgˉ¹v, mas com isso ainda não consegui chegar nessa expressão.
Obrigado desde já!

por DiegoAOliveira Sáb 18 Jun 2016, 01:21

\int \frac{dv}{(1+v^2)(1+ \arctan{v} )}
Substituição:

t=1+\arctan{v}\\ \arctan{v}=t-1\\ v=\tan{(t-1)} \rightarrow dv=\sec^2 (t-1)dt

\int \frac{\sec^2(t-1)dt}{(1+ \tan^2(t-1))t}

usando:
\sec^2(t-1)=\tan^2(t-1)+1

\int \frac{(\tan^2(t-1)+1)dt}{(1+ \tan^2(t-1))t} = \int \frac{dt}{t} = ln |t| + C = ln |1+ \arctan{v}|+C

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