Duvida Complexos.

por BallaHalls Ter 23 Fev 2016, 14:39

Se z e w são dois números complexos quaisquer tais que |z|=|w|=1 e 1+zw≠0, determine se (z+w)/(1+zw) é real, imaginário ou imaginário puro.

Gabarito:

Spoiler:

Tentei fazer pela forma trigonométrica, chamei z= cos a+isen a , w= cos b+isen b. Mas não consegui desenvolver muito. :/

por **Elcioschin** Ter 23 Fev 2016, 15:57

Tente fazer z = a + bi e w = c + di

|z| = |w| = 1 ---> |a + bi| = |c + di| = 1 ---> √(a² + b²) = √(c² + d²) = 1 --->

a² + b² = 1 ---> c² + d² = 1 ---> I

[z + w]/[1 + z.w] = [(a + bi) + (c + di)]/[1 + (a + bi).(c + di)]

Numerador = (a + c) + (b + d).i
Denominador: desenvolva e chegue em x + yi

Multiplique numerador e denominador pelo conjugado x - yi
Simplifique e use as equações I

É trabalhoso

Outro modo é escolher z e w, por exemplo:

z = 1/2 + i.√3/2 ------> z = cos60º + i.sen60º
w = √3/2 + (1/2).i ---> w = cos30º+ i.sen30º

Agora você pode fazer pela fórmula trigonométrica

por BallaHalls Ter 23 Fev 2016, 23:17

Meu irmão me deu uma dica que, quando |z|=|w|=1, w é conjugado de z. Fazendo, z = a + bi e w = a - bi, chega-se a: (2a)/(1+a²+b²), que é um numero real. Batendo com o gabarito.
Mas estou com dificuldade para provar se é verdade ou não essa propriedade. Alguma ideia ?

por **Elcioschin** Qua 24 Fev 2016, 09:18

Não vale sempre. Veja o exemplo que eu dei na minha mesagem:

z = 1/2 + i.√3/2 ------> |z| = 1
w = √3/2 + (1/2).i ---> |w| = 1

Note que z e w NÃO são conjugados, mas tem o mesmo módulo 1

Assim, o que se pode garantir é:

1) Dois números complexos conjugados tem o mesmo módulo.

2) Existem infinitos números complexos NÃO conjugados z, w que podem ter o mesmo módulo:

z = a + bi ---> w = c + di ---> Para se ter |z| = |w| , basta que a² + b² = c² + d²

Assim, quando você provou para z, w conjugados, provou apenas para um caso particular.

por BallaHalls Qui 25 Fev 2016, 09:39

tentei pelo método algébrico, mas fica muito inviável no numerador, porque multiplicando pelo conjugado, tem-se:
((a+c) +i(d+b)).((1+ac+db)-i(d+b))
Eu fiz isso, embora possa ter errado algum processo, ainda sim, muito inviável.
Essa é a questão do F.M.E 6, N° 57. Peguei aqui do fórum o pdf com as resoluções (agradeço muito), a da 57 está pela forma trigonométrica, mas tem uma parte que eu não entendi oque ele fez, segue abaixo:
Duvida Complexos. Msmxrb

Entendi perfeitamente a resolução, mas quando chega na linha sublinhada em vermelho, reconheço a identidade: 1+cos(a+b) = 2cos(a+b)/2,
mas não entendi como ele desenvolveu:
isen(a+b)
para chegar em:
2isen(a+b)/2.cos(a+b)/2
:/ teria como me explicar ?

por **Elcioschin** Qui 25 Fev 2016, 10:31

BallaHalls

A explicação para a linha vermelha é muito simples: Basta lembrar das fórmulas básicas:

cos(x - y) = cosx.cosy + senx.seny

sen(x + y) = senx.cosy + seny.cosx

fazendo x = α e y = β

cos(α - β) = cosα.cosβ + senα.senβ

sen(α + β) = senα.cosβ + senα.cosβ

A passagem seguinte ele aplicou novamente prostaférese, que ele já tinha aplicado na 5ª linha:

senα + senβ = 2.sen[(α + β)/2].cos[(α - β)/2]

por BallaHalls Sáb 27 Fev 2016, 18:49

Sim, mas oque eu não entendi é que:
sen(x + y) = senx.cosy + seny.cosx(I)
sen(x - y) = senx.cosy - seny.cosx(II)

Somando (I)+(II) =
sen(a+b) + sen(a-b) = 2.sen(a).cos(b)(III)

Sendo: (x+y) = a ; (x-y) = b
Tem-se que: x = (a+b)/2 e que y = (a-b)/2

Substituindo em (III), temos:
sen(a) + sen(b) = 2(sen(a+b)/2.cos(a-b)/2)

Mas até onde eu consegui entender na linha sublinhada, ele fez: sen(a+b) = sen(a)+sen(b) = 2(sen(a+b)/2.cos(a-b)/2)