Dúvida em complexos

por GabrielM Qua 30 Jan 2013, 22:09

Sabendo que x, y e z são números complexos de módulo unitário, e são raízes do seguinte sistema:
(i) x + y + z = 1
(ii) xyz = 1
Então o valor de x³ + y³ + z³ = ?

a) 0
b) -1
c) i
d) 1
e) 3

por **Robson Jr.** Qua 30 Jan 2013, 22:55

Apliquemos o conjugado em ambos os lados de (i):

$\small \overline{x+y+z}=\overline{1} \Rightarrow \overline{x}+\overline{y}+\overline{z}=1$

Como |x| = |y| = |z| = 1, posso escrever:

$\small \frac{\overline{x}}{|x|^2}+\frac{\overline{y}}{|y|^2}+\frac{\overline{z}}{|z|^2}=1$

Mas o que aparece acima é justamente o inverso dos complexos dados!

$\small \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \text{ (iii)}$

Multiplicando (ii) por (iii):

$\small xyz\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=1 \Rightarrow xy+xz+yz=1 \text{ (iv)}$

Agora, considere a identidade:

$\small (x+y+z)^3+3xyz=x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)$

Substituindo (i), (ii) e (iv), temos:

$\small 1+3=x^3+y^3+z^3+3 \Rightarrow \boxed{x^3+y^3+z^3=1}$

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