Dúvida- transformação linear

por carvalhoalvesyan Dom 14 Fev 2016, 21:32

Boa noite pessoal, gostaria que me ajudassem, se possível, na seguinte questão:

Mostre se a seguinte função é aplicação linear

a) k: P2 ---> P3 (polinomios de grau 2 e 3 respectivamente)
ax²+bx+c |----> ax³+bx²+cx

por **gabrieldpb** Qua 17 Fev 2016, 00:36

Seja U e V dois vetores do espaço vetorial P2, a qual a transformação linear T está a ser aplicada para P3. Além disso, P2 e P3 têm o mesmo corpo, podendo ser reais ou complexos. Para que a transformação seja linear, precisamos que

i) T(X+Y)=T(X)+T(Y)
ii) T(\alpha X)=\alpha T(X)

Nossa aplicação se resume em
T(c,b,a)=(0,c,b,a),
onde (c,b,a) é o polinômio em P2 e (0,c,b,a) sua transformação em P3.

Seja X=(c,b,a) e Y=(f,e,d), vejamos então:

T(X+Y)=T(c+f,b+e,a+d)=(0,c+f,b+e,a+d)

T(X+Y)=(0,c,b,a)+(0,f,e,d)=T(X)+T(Y)

OK!!

Seja \alpha um escalar qualquer, então:

T(\alpha X)=(0,\alpha c,\alpha b,\alpha a)=\alpha(0,c,b,a)

T(\alpha X)=\alpha T(X)

OK!!

Com as duas operações definidas, temos que T é sim uma transformação linear.

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