Para os subespaços U e V

Para os subespaços U e V de ℝ³, determine  U ∩ V     e     U ∪ V.
U = { (1,0,1), (0,1,1) }   e   V = { (1,1,1) }

U ∩ V  (elementos em comuns dos conjuntos) = {1}
U ∪ V (agrupar todos os elementos de ambos os conjuntos) = {0,1}

Caro amigo, estes conjuntos na sua pergunta são bases L.I. dos seguintes subespaços vetoriais:


U = a(1 , 0 , 1) + b(0 , 1 , 1) = (a , b , a+b)
V = c(1 , 1 , 1) = (c , c , c)

Portanto, a interseção entre U e V deve atender ao seguinte sistema linear:

a = c
b = c
a+b = c          
no entanto, para a,b,c diferentes de zero, o sistema acima é impossível. Logo, a interseção dos subespeaços em questão é o subespaço nulo (0,0,0). 

Note que você poderia chegar a esta conclusão sem fazer conta alguma, isto porque se você imaginar os eixos de coordenadas xyz, verá que  (1,0,1) é o plano xz, (0,1,1) é o plano yz e (1,1,1) é uma "reta diagonal" que sai da origem. Portanto a interseção entre esta reta e os dois planos poderá ser apenas a origem (0,0,0).


Já a união entre os subespaços em questão é simplesmente a junção de todos os vetores pertencentes a U com todos vetores pertencentes a V. Vale a pena observar que embora a interseção entre dois subespaços seja sempre um subespaço, a união nem sempre será