CUSTO MÍNIMO

Uma caixa retangular, com tampa, possui um volume de 16 m³. Encontre as dimensões que produzem a caixa de menor custo, se o material utilizado nas laterais custa a metade do utilizado no fundo e na tampa.




Desde já agradeço a quem conseguir resolver.

Ivomilton

Seja x o lado do fundo e da tampa (fundo a tampa são quadrados) e seja y a altura da caixa.
Seja p o preço unitário das laterais ---> 2p = preço unitário do fundo e da tampa

V = 16 ---> x².y = 16 ---> y = 16/x²

Área da base + tampa = 2.x²
Área das laterais = 4.x.y = 4.x.(16/x²) = 64/x

Custo total da caixa ---> C = (2.x²).2.p + (64/x).p ---> C = 4.p.x² + 64.p.x-¹

Para o custo ser mínimo, basta igualar a zero a derivada C' da função C:

C' = 4.p.(2x) + 64.p.(-x-²) ---> C' = 8.p.x - 64.p/x²

C' = 0 ---> 8.p.x - 64.p/x² = 0 ---> x - 8/x² = 0 ---> x³ = 8 ---> x = 2 m

y = 16/x² ---> y = 16/2² ---> y = 4 m

Elcioschin escreveu:Ivomilton

Seja x o lado do fundo e da tampa (fundo a tampa são quadrados) e seja y a altura da caixa.
Seja p o preço unitário das laterais ---> 2p = preço unitário do fundo e da tampa

V = 16 ---> x².y = 16 ---> y = 16/x²

Área da base + tampa = 2.x²
Área das laterais = 4.x.y = 4.x.(16/x²) = 64/x

Custo total da caixa ---> C = (2.x²).2.p + (64/x).p ---> C = 4.p.x² + 64.p.x-¹

Para o custo ser mínimo, basta igualar a zero a derivada C' da função C:

C' = 4.p.(2x) + 64.p.(-x-²) ---> C' = 8.p.x - 64.p/x²

C' = 0 ---> 8.p.x - 64.p/x² = 0 ---> x - 8/x² = 0 ---> x³ = 8 ---> x = 2 m

y = 16/x² ---> y = 16/2² ---> y = 4 m

Boa noite, amigo Elcio.

Solução bastante clara e simples.Muito obrigado pela solução bastante clara e de fácil compreensão!


Forte abraço.