EFOMM 2003

por Yuri Pantoja Qui 21 Jan 2016, 17:53

A geratriz de um cone de revolução mede 5cm e a altura mede 4cm. Calcule o volume da esfera inscrita no cone.

por **Elcioschin** Qui 21 Jan 2016, 21:50

V = vértice do cone
AB = diâmetro da base
P = ponto médio de AB ---> PA = PB = R = 3
O = centro do círculo inscrito, de raio r
M, N = pontos de tangência do círculo com VA e VB
OM = ON = OP = r

VA = VB = G = 5 ---> VP = H = 4

R² = G² - H² ---> R² = 5² - 4² ---> R = 3

OV = VP - OP ---> OV = H - r ---> OV = 4 - r

OM/OV = PA/VA ---> r/(4 - r) = 3/5 ---> r = 3/2

por Yuri Pantoja Qui 21 Jan 2016, 22:32

Mestre Elcioschin, não entendi o porquê da relação de hipotenusa do triângulo maior com os catetos do menor. Foi exatamente na última coluna que me enrasquei.
Não seria
4-r/r = 4/3
Já que H=4 e R=3 e um dos catetos do triangulo menor é r e o outro 4 -r

por **Elcioschin** Qui 21 Jan 2016, 23:01

No triângulo VMO ---> sen(O^VM) = OM/OV = r/(4 - r)

No triângulo VPA --->sen(O^VM) = PA/VA = 3/5

r/(4 - r) = 3/5

por Shino Sáb 23 Jan 2016, 16:32

Yuri ficou horrível o desenho, mais apenas para deixar o raciocínio mais dinâmico, observe que os dois triângulos têm o angulo θ em comum logo por semelhança de triângulos temos qualquer relação válida, como cateto oposto/cateto oposto' = hipotenusa/hipotenusa' = cateto adjacente/cateto adjacente'

EFOMM 2003 Xmsr49

$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{G} = \frac{G-R}{H}$

H = altura do cone
R = raio do cone
G = geratriz do cone
r = raio da esfera

OBS: observe o ponto P, apenas lembre-se daquele teorema de um ponto fora de uma circunferência pode "lançar" duas retas tangentes a circunferência formando ângulos de 90º e obrigatoriamente iguais.

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