Circulos matemáticos (divisibilidade)

por Pedro Prado Ter 19 Jan 2016, 19:39

Prove que a soma dos quadrados de cinco números naturais consecutivos não pode ser um quadrado perfeito.

Tentei usar o fato de que um número ao quadrado deixa resto 1 na divisão por 4 se for um quadrado ímpar e resto 0 se for um quadrado par.

Tentei provar por absurdo forçando x+x+1+x+2+x+3+x+4=5x+10=N² e fazer a análise no módulo 4 mas não consegui provar.

por **Euclides** Ter 19 Jan 2016, 19:58

a soma dos quadrados de cinco números naturais consecutivos

$\\x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+(x+3)^2+(x+4)^2=N\\5x^2+20x+30=N$

para que N seja um quadrado perfeito

$\\5x^2+20x+30=(x-a)(x-a)$

mas $\\N=5x^2+20x+30$ não tem raízes reais $\therefore \;\;\nexists\;\;a$

por Pedro Prado Ter 19 Jan 2016, 20:17

Nossa, eu não li a questão direito...pensei que fosse soma... :evil: :evil: :evil: :evil:

por Pedro Prado Ter 19 Jan 2016, 20:34

Consegui de outro modo:
$5x^2+20x+30=N^2$
Vamos as possibilidades:
$5x^2+20x+30\equiv 0mod4\therefore x^2\equiv 2mod4$ (Ímpossível)

$5x^2+20x+30\equiv 1mod4\therefore x^2\equiv 3mod4$ (Ímpossível)
Visto que um número ao quadrado só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 4

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