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Equação Modular de 2º Grau

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Mensagem por rafa17rocha Ter 22 Dez 2015, 01:07

Boa noite,
Alguém poderia me mostrar a resolução do seguinte exercício,
pois ao definir os pontos com minha resolução obtive um resultado diferente ao do gráfico abaixo.

(Pré-Cálculo - 3ª ed, Medeiros - Página 246 - Exercício J)



J) Esboce o gráfico da função:
|x² - 2x| - |x² - 4|

Resposta:
Equação Modular de 2º Grau PAzuPi3

rafa17rocha
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Mensagem por vladimir silva de avelar Ter 22 Dez 2015, 07:21

veja se isso ajuda:
y = |x² - 2x| - |x² - 4|
y = |x(x - 2)| - |(x + 2)(x - 2)|
y = |x - 2|(|x| - |x + 2|)

lembrando que |ab| = |a||b|

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Mensagem por rafa17rocha Ter 22 Dez 2015, 10:51

Obrigado pela resposta, mas como ficaria a parte da resolução e pontos no gráfico?

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Mensagem por vladimir silva de avelar Ter 22 Dez 2015, 11:02

Eu to tentando ainda , só compartilhei essa parte porque acredito que o caminho passa por aí Wink

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Mensagem por vladimir silva de avelar Ter 22 Dez 2015, 11:12

Então, acho que consegui aqui, os passos são os seguintes:
Tente fazer no mesmo sistema de eixos os gráficos de |x² - 2x| e de |x² - 4|
Com isso você vai poder encontrar os pontos onde elas são iguais, e, com isso, encontrar onde a diferença |x² - 2| - |x² - 4| vale zero. Com isso, basta separar os intervalos onde as concavidades são das seguintes formas (+,+)(+,-)(-,+)(-,-), com isso você vai encontrar 4 intervalos, ai basta fazer a diferença das funções, e esboçar o gráfico nos intervalos encontrados, veja se consegue resolver com essas informações Wink
caso contrário eu posto a solução completa aqui.
Note que se em determinado intervalo as concavidades são da mesma forma, a diferença será uma reta, e do contrário, a diferença é uma equação de segundo grau, o que pode ser observado no gráfico da solução.

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Mensagem por Jose Carlos Ter 22 Dez 2015, 11:16

outra forma:

y = | x² - 2x | - | x² - 4 |

I) x² - 2x = 0 -> raízes: x = 0 ou x = 2

II) x² - 4 = 0 -> raízes: x = - 2 ou x = 2


para x < - 2:

y = ( x² - 2x ) - ( x² - 4 ) = - 2x + 4


para - 2<= x < 0:

y = ( x² - 2x ) - ( 4 - x² ) = 2x² - 2x + 4


para 0 <= x < 2:

y = ( 2x - x² ) - ( 4 - x² ) = 2x - 4


para x >= 2:

y = ( x² - 2x ) - ( x² - 4 ) = - 2x + 4



* para cada interwalo trace as retas e a parábola

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Mensagem por rafa17rocha Ter 22 Dez 2015, 20:26

Muitíssimo obrigado aos dois! finalmente consegui!!

Uma pequena observação na troca de sinais do 2º caso:
"para - 2<= x < 0:
y = ( x² - 2x ) - ( 4 - x² ) = 2x² - 2x + 4
O correto seria 2x² - 2x - 4.


Até a próxima! =D

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