Reta tangente a duas circunferências

Sabendo que a reta t é tangente as duas circunferências na imagem abaixo, calcule a medida do segmento GF em função do raio dessas circunferências.





Gabarito: 2√(R.r)

Minhas dúvidas:

Spoiler:

I)Por que o ponto médio "D" do segmento FG sempre está na mesma reta do ponto de tangência B?

A reta t é tangente à C1 e C2 em F e G respectivamente. E a reta r é tangente a essas circunferências em B.
D = r Ո t
Em C1, DB = DF. E em C2, DB = DG -----> DB = DF = DG

II)Por que o ângulo ADC é reto? (como deduzir/provar?)

quem é ADC ?

Obrigado, Raimundo e Medeiros!!

 Desculpe-me Medeiros, eu não marquei os pontos A e C na imagem do exercício, ainda que,
eles estejam na imagem da minha resolução; irei, portanto, repostar esta imagem. 
 ∆ADC seria o triângulo formado pelos segmentos de reta que partem do centro de ambas circunferências ao ponto médio "D". Dessa forma, eu gostaria de saber por que o ângulo "ADC" é reto.

Gabriel ,
Aproveite e pratique um pouco o sistema de busca do fórum.

Esse ítem já foi resolvido por mim e pelo amigo Ivomilton(procure nos nossos post ) já faz um tempinho.

Somente agora, que você disse, percebi haver uma imagem na sua resolução  -- um spoiler dentro do spoiler. Vamos lá.



Mas esta conclusão também podia ser obtida algebricamente a partir de que você encontrou y = √(Rr).
m² = y² + r²
n² = y² + R²
---------------------------(+)
m² + n² = 2y² + R² + r²
m² + n² = R² + 2Rr + r²
m² + n² = (R + r)²
assim, por Pitágoras, (R + r) é a hipotenusa do triângulo de catetos m e n. Por conseguinte, é reto o ângulo entre m e n.

Raimundo, eu sempre pesquiso antes de postar as questões, só que eu não possuo o enunciado dessa questão (o que está aí fui eu que fiz) e nem imaginei que alguém tenha postado. Além disso, eu até pesquisei no google: "Medida do segmento formado pela tangente de duas circunferências", e não achei nada.

Caso pergunte: "Ué, se você não tem o enunciado da questão, como você sabe o gabarito, a imagem etc."
Essa questão foi um "desafio para provar em casa" de um professor de um cursinho online que eu participo. Não tinha enunciado, apenas a imagem, gabarito e as "instruções" ele passou oralmente.


Enfim, desculpe-me pelo transtorno. Eu realmente não imaginava que esta questão estaria presente no fórum.

Muito Obrigado, Medeiros!!! Agora entendi porque esse ângulo é reto :DD

Além disso, achei essa propriedade da interseção de retas tangentes muito bacana. Nunca tinha visto, mas agora já está armazenada no meu hd. u_u

Essa questão já rodou tantas vezes aqui que está na "cuca".
Finisch . Medeiros já lacrou.