UESB 2012 Trigonometria

por Garibaldi Qui 03 Dez 2015, 12:31

Após uma aula sobre lei dos senos e lei dos cossenos, um professor de Matemática pediu
aos seus alunos que fizessem como tarefa extra uma pesquisa sobre outras propriedades válidas
em um triângulo qualquer, relacionando as medidas dos ângulos internos e dos lados do
triângulo em estudo. Na data de entrega, um dos alunos apresentou uma curiosa propriedade
sobre a razão entre as tangentes de dois ângulos internos.
Considerando-se um triângulo ABC, com a, b e c sendo as medidas dos lados opostos aos
ângulos internos, BAC, ABC, ACB nessa ordem e a2 ≠ b2 − c2, pode-se afirmar que

UESB 2012 Trigonometria 676vzm_th

por **Elcioschin** Qui 03 Dez 2015, 19:44

A questão vale para qualquer triângulo não retângulo.
Como a questão é de múltipla escolha, podemos supor que o triângulo é equilátero com A = B = C = 60º
e a = b = c = x

Neste caso, tgA = tB = tgC = √3

Basta então substituir os valores, em cada alternativa, e ver qual delas atende.

Numa questão discursiva isto não poderia ser feito.

por felipecostt Qui 05 Jan 2017, 10:13

Mestre Elcioschin, nesse caso todas darão o mesmo valor, não?

Porque se eu substituir o 60º nas frações das tangentes dará 1,
assim como assumindo os lados iguais dará 1 na fração entre seus quadrados.

Não consegui compreender

por **Elcioschin** Qui 05 Jan 2017, 11:51

Tens razão
Acho que o caminho é usar a Lei dos senos e Lei dos cossenos

--a .......... b .......... c ...................... senB ................. senC
------- = ------- = -------- ---> b = a*------- ---> c = a*-------
.senA .... senB ..... senC .................. senA .................. senA

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA

b² = a² + c² - 2.a.c.cosB

c² = a² + b² - 2.a.b.cosC

A + B + C = 180º

tgA = senA/cosA ---> tgB =senB/cosB ---> tgC = senC/cosC

Com estas equações, devidamente trabalhadas (e vai dar muito trabalho), suponho que se chegue à solução.

Tente

por **Elcioschin** Qui 05 Jan 2017, 16:43

Outro modo, somente se a questão for de múltopla escolha

Suponha que o triângulo tenha ângulos A = 30º, B = C = 75º, BC = a = 1, AB = c = AC = b = x

Facilmente se prova que sen75º = (√6 + √2)/4, cos75º = (√6 - √2)/4 e tg75º = 2 + √3, tg30º = √3/3

a/senA = x/senB ---> 1/sen30º = x/sen75º ---> 1/(1/2) = x/sen75º ---> x = 2.sen75º ---> x = (√6 + √2)/2

a² = 1 ---> b² = c² = (√6 + √2)²/2² = 2 + √3

Basta agora testar cada alternativa

por Dudaoxps Seg 09 maio 2022, 13:01

como você conseguiu achar o valor de sen 75 como raiz 6+ raiz de 2 sobre 4, e o cosseno raiz de 6- raiz de 2 sobre 4 ?

por **Elcioschin** Seg 09 maio 2022, 18:30

sen75º = sen(45º + 30º) ---> Calcule

cos75º = cos(45º + 30º) ---> Calcule

por **petras** Sáb 25 Nov 2023, 13:49

Elcioschin escreveu:Tens razão
Acho que o caminho é usar a Lei dos senos e Lei dos cossenos

--a .......... b .......... c ...................... senB ................. senC
------- = ------- = -------- ---> b = a*------- ---> c = a*-------
.senA .... senB ..... senC .................. senA .................. senA

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA

b² = a² + c² - 2.a.c.cosB

c² = a² + b² - 2.a.b.cosC

A + B + C = 180º

tgA = senA/cosA ---> tgB =senB/cosB ---> tgC = senC/cosC

Com estas equações, devidamente trabalhadas (e vai dar muito trabalho), suponho que se chegue à solução.

Tente

[latex]\frac{tg\angle B}{tg\angle C}=\frac{sen \angle Bcos \angle C}{sen\angle C cos \angle B}\\ T. senos: \frac{b}{sen \angle B}=\frac{c}{sen \angle C}\implies \frac{b}{c}=\frac{sen \angle B}{sen\angle C}\\ Substitndo: \frac{tg \angle B}{tg \angle C}=\frac{b.ccos \angle C}{cos\angle B}\\ T. cossenos: cos \angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\ cos \angle B=\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}\\ Substituindo: \frac{b.ccos \angle C}{c.cos \angle B}=\frac{b.2ac(a^2+b^2-c^2)}{c.2ab(a^2-b^2+c^2)}\implies\\ \boxed{\frac{tg \angle B}{tg \angle C}=\frac{(a^2+b^2-c^2)}{a^2-b^2+c^2}}[/latex]
(solução:pie)