area de um triângulo e suas tangentes

Embora a questão envolva trigonometria, ela está no Livro Geometria II - Morgado (questão 298)

seja S a área de um triângulo ABC e 2p seu perímetro. Então:

tg (A/2) . tg (B/2).tg (C/2)  
é igual a:

a-) S/(p²)         b-) (p²) / S        c-) (2 p²)/ S     d-) S / (4p²)       e-) NRA

Resposta: a

muitooo obrigada pela ajuda

Trabalhoso

Sejam A, B, C os ângulos e a, b, c os lados opostos

2p = a + b + c

S = (a.b.senC)/2 = (a.c.senB)/2 = (b.c.senA)/2

Lei dos senos ---> a/senA = b/senB = c/senC

A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C ---> tg(A + B) tg(180º - C) ---> (tgA + tgB)/(1 - tgA.tgB) = - tgC -->

tgA + tgB = - tgC + tgA.tgB.tgC ---> tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC ---> I

tgA = 2.tg(A/2)/[1 - tg²(A/2)] ---> tgB = 2.tg(B/2)/[1 - tg²(B/2)] ---> tgC = 2.tg(C/2)/[1 - tg²(C/2)]

Basta substituir em I e depois desenvolver algebricamente

Agora, uma jogada inteligente, já que é uma questão de múltipla escolha; eis o pulo do gato: como vale para QUALQUER triângulo, podemos escolher um triângulo equilátero, em que A = B = C = 60º e a = b = c = x

tg30º.tg30º.tg30º = (√3/3).(√3/3).(√3/3) = √3/9

S = x².√3/4 ---> 2.p = 3.x ---> p = 3.x/2 ---> p² = 9.x²/4

a) S/p² = (x².√3/4))/(9.x²/4) ---> S/p² = √3/9 ---> Alternativa correta

GENIAL, Elcio!
Muitíssimo obrigada