FUVEST - Polinômios

por Tiagoak Dom 15 Nov 2015, 00:27

Seja P(x) um polinômio com coeficientes reais. Na divisão de P(x) por x+1 o resto é 7, e na divisão de P(x) por x²+4 o quociente é x²+2 e o resto R(x), com R(2) = 5. Então, P(1) é igual a:
a)16
b)17
c)18
d)19
e)20

Apesar da questão ser da fuvest, não achei a resolução em nenhum lugar...

por Luck Dom 15 Nov 2015, 15:19

Bem-vindo Tiago.
P(x) = d(x)Q(x) + R(x)
Lembrando que o grau do resto é menor que o grau do divisor.
P(x) = (x+1)Q(x) + 7 ∴ P(-1) = 7

P(x) = (x²+4)(x²+2) + R(x)
R(x) = ax + b ∴ 2a + b = 5 (i)
P(-1) = 7 :
7 = ((-1)²+4)((-1)²+2) -a + b
a - b = 8 (ii)
resolvendo o sistema obtemos:
3a = 13 ∴ a = 13/3 ; b = (13/3) - 8 = -11/3

P(x) = (x²+4)(x²+2) + (13x-11)/3
P(1) = (1+4)(1+2) + (13-11)/3
P(1) = 15 + 2/3
P(1) = 47/3
Favor, verifique as contas e os valores do enunciado..

por Elias Felipe de Carvalho Dom 18 Mar 2018, 15:01

No enunciado do problema, onde se lê "o quociente é x²+2" o expoente de x é 3 e não 2. Essa questão faz parte de um exame da FUVEST para transferência de cursos entre faculdades fora da USP.

por Elias Felipe de Carvalho Dom 18 Mar 2018, 15:08

Corrigindo o enunciado, ao considerar o expoente 3 ao invés de 2 para x²+2, a resposta correta é a letra d, que tem o resultado 19.

por **Elcioschin** Dom 18 Mar 2018, 16:45

Fazendo (x³ + 2) na solução do colega Luck:

P(x) = (x²+4)(x³+2) + R(x)
R(x) = ax + b ∴ 2a + b = 5 (i)
P(-1) = 7 :
7 = ((-1)²+4)((-1)³+2) -a + b
a - b = -2 (ii)
resolvendo o sistema obtemos:
3a = 3 ∴ a = 1 ; b = 1 + 2 = 3

P(x) = (x²+4)(x³+2) + x + 3
P(1) = (1+4)(1+2) + 1 + 3
P(1) = 15 + 4
P(1) = 19