UDESC 2015/2 - Questão de geometria espacial

UDESC 2015/2 - De um tetraedro regular com aresta medindo 30 cm é retirado um cubo cuja aresta mede a diferença do apótema do tetraedro pela altura do tetraedro. Nesse caso, a aresta do cubo mede:

A)

B)

C)

D)

E)

Tentativa de resolução: -> O apotema de um tetraedro regular é a altura do triangulo que compõe a face do mesmo, logo A= . => A = 15 \sqrt{3}

A altura do tetraedro calculei pelo triangulo retangulo formado pela altura do tetraedro, uma das arestas e a metade da diagonal do quadrado da base. Sendo: H² = 30² - (15 \sqrt{2} )²=> H = 15 \sqrt{2}

Logo conclui que: A - H = 15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{2} = Aresta do Cubo.

Alguém pode me indicar o erro? Gratidão.

Ah, o gabarito é : D

Tetraedro não tem quadro como base. Tetraedro é uma piramide formada por quatro triangulos equilateros.

Apotema = 15V3

Altura

(15V3)^2 = H^2 + (5V3)^2
675 = H^2 + 25.3
H = V600

Aresta = Apotema - Altura

Aresta = 15V3 - V600

Aresta = 15V3 - 10V6 

Aresta = 5V3(3-2V2)

Método mais rápido:
Apotema=a√3/2(h triangulo equilatero)
Htetra=a√6/3


30√3/2-30√6/3=
=15√3-10√6=
=5√3(3-2√2)