Função do segundo grau

O lucro mensal de um estabelecimento comercial pode ser mensurado por uma função do segundo grau, em que o lucro, em reais, é uma função da quantidade x de unidades vendidas.
Há custos para se manter o estabelecimento, assim, nesse caso, quando são vendidas 0 ou 100 unidades, o lucro do estabelecimento é igual a zero.
Se o lucro máximo mensal é de 5000 reais, então o coeficiente do termo quadrático da função do segundo grau que fornece o lucro é:

Resposta: consta como -0,5
Só consegui chegar a -2... gostaria de saber o que estou fazendo errado, Obrigado!

Boa noite.

O lucro mensal do estabelecimento é mensurado por uma função do 2º grau em que o lucro, em reais, é uma função da quantidade x de unidades vendidas: f(x) = ax² + bx + c.
Quando 0 ou 100 unidades são vendidas, o lucro é igual a zero, ou seja, a imagem de x = 0 ou x = 100 será igual zero:
f(0) = a(0)² + b(0) + c ⇔ 0 + 0 + c = 0 ⇔ c = 0 (descobrimos o termo independente)
f(100) = a(100)² + b(100) + c ⇔ 10000a + 100b + c = 0 ⇔ a = -b/100 (encontramos a em função de b e b em função de a)

Sabemos que a função f(x) = ax² + bx + c com a < 0 admite um valor máximo yM = -∆ /4a em x = -b/2a

yM = - (b² - 4ac)/4a ⇔ 5000 = - (b² - 0)/4(-b/100) ⇔ 5000 = -100b²/-4b ⇔ 5000 = 25b ⇔ b = 200
x = -b/2a ⇔ x = 100a/2a ⇔ x = 50

Quando x = 50, yM = 5000, logo f(x) = ax² + bx + c ⇔ 5000 = a(50)² + 200(50) + 0 ⇔ 5000 = 2500a + 10000 ⇔ -5000 = 2500a ⇔ a = -1/2 ou a = -0,5.

Wololo, o raciocínio está todo certo, só um pequeno detalhe no final: 

Quando x = 50, yM = 5000, logo f(x) = ax² + bx + c ⇔ 5000 = a(50)² + 200(50) + 0 ⇔ 5000 = 2500a + 10000 ⇔ -5000 = 2500a ⇔ a = -1/2 ou a = -0,5.


a= -5000/2500
a=-2


Abraço, bons estudos! 

Olá, pois então, a resposta parece mesmo ser -2, acho que o gabarito que peguei que consta -0,5 está errado...

Gierson Trucolo escreveu:Wololo, o raciocínio está todo certo, só um pequeno detalhe no final: 

Quando x = 50, yM = 5000, logo f(x) = ax² + bx + c ⇔ 5000 = a(50)² + 200(50) + 0 ⇔ 5000 = 2500a + 10000 ⇔ -5000 = 2500a ⇔ a = -1/2 ou a = -0,5.


a= -5000/2500
a=-2


Abraço, bons estudos! 

Nossa!!! Tens razão! Fiz ontem prestes a dormir, mas sono não é desculpa, muita falta de atenção da minha parte. Obrigado por me corrigir!

arthurgio escreveu:Olá, pois então, a resposta parece mesmo ser -2, acho que o gabarito que peguei que consta -0,5 está errado...

Bom dia, arthurgio. Concordo que o gabarito deve estar errado.