Polinômio.

Assinale V ou F:

a) Sendo m,n e p constantes reais, para que se tenha 8x³+36x²+54x+p≡(mx + n)³, o valor de p deverá ser igual a 27.
b) Dividindo um polinômio P(x) por x-3, obtém-se o quociente Q1(x) e o resto R1=5. Dividindo Q1(x) por 2x-4, obtém se o resto 8. Então, o resto da divisão de P(x) por (x-3).(2x-4) é representado por R(x)=8x-19.
c) Dada a equação x⁵+mx²+nx+1=0, com m e n reais, podemos afirmar que a equação pode admitir uma raiz imaginária com multiplicidade maior que 2.
d) A equação 2x⁴ -√2x³ +x² -5=0 admite uma raiz positiva menor do que √ 2.

a) (mx + n)³ = m³x³ + 3m²nx² + 3mn²x + n³

Para 8x³ + 36x² + 54x + p = m³x³ + 3m²nx² + 3mn²x + n³, deve-se ter:
8 = m³ --> m = 2
36 = 3m²n --> n = 12/m² = 12/2² = 3
p = n³ = 3³ = 27

(Verdadeiro)


b) P(x) = (x - 3)Q1(x) + 5 (*)
Q1(x) = (2x - 4)Q2(x) + 8 (**)

Como o resto da divisão de P(x) por (x - 3)(2x - 4) deve ter grau menor que (x - 3)(2x - 4), então R(x) = ax + b.
P(x) = (x - 3)(2x - 4)H(x) + ax + b (***)

Fazendo x = 3 em (*), obtemos P(3) = 5. Fazendo x = 2 em (**), obtemos Q1(2) = 8. Fazendo x = 2 em (*) e sabendo que Q1(2) = 8, obtemos P(2) = (-1)*8 + 5 = -3.

Fazendo x = 2 e x = 3 em (***) e sabendo que P(2) = -3 e P(3) = 5, obtemos:
-3 = a*2 + b --> 2a + b = -3
5 = a*3 + b --> 3a + b = 5
Das duas equações temos que a = 8  e b = -19.

Logo, R(x) = 8x - 19.

(Verdadeiro)


c) Uma equação polinomial de 5º grau com coeficientes reais pode admitir até 5 raízes, sendo que quando houver raiz complexa outra raiz deverá ser necessariamente o conjugado dessa. Logo, tal equação pode admitir no máximo duas raízes complexas iguais (sendo que duas das outras 3 serão os conjugados dessas e a restante será uma raiz real).

(Falso)


d) Considerando o polinômio P(x) = 2x^4 - √2x^3 + x^2 - 5, temos:
P(0) = -5
P(√2) = 1


Como P(0) < 0 e P(√2) > 0, então necessariamente existe um valor "a" entre 0 e √2 tal que P(a) = 0.


(Verdadeiro)