Função cosseno

Sobre a função f, de R em R, dada por:



A) O conjunto imagem é [-1;1]
B) o período é 6pi
C) é positiva em x pertence ]0;pi/2[
D) é crescente no intervalo ]pi/6;2pi/3[
E) admite três raízes no intervalo [0;pi]

Logo, A) está errada.

Podemos perceber que a B está errada, pois quanto maior for o valor que acompanha o x(no caso o 3), menor será o periodo.

C) está errado, basta observar os extremos:
f(0) = (1/3) . cos(3 . 0) = 1/3 ---> Positivo
f(pi/2) = (1/3) . cos( 3 . pi/2) = 0
Mas esse zero é o segundo, isto é, o cosseno passa pelo negativo pra depois então chegar ao zero.
O intervalo é aberto, contudo, podemos fazer isso apenas para analisar.

D) Novamente os extremos:
f(pi/6) = 1/3 . cos(3 . pi/6) = (1/3) . cos(pi/2) = 0
f(2pi/3) = (1/3) . cos (3 . 2pi/3) = (1/3) . cos (2pi) = 1/3.
Contudo, não é crescente. Pois no intervalo temos que ele passa pelo negativo.

E) Basta igualar a zero:
f(x)=(1/3).cos(3x)= 0 --> cos(3x)=0

São três raizes, correto.