Números Complexos - Caio Guimarães - IME
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Números Complexos - Caio Guimarães - IME
Geeente, resolvi essa questão do ime q aparece no livroo do caio, mas minha resolução tá idferente da do livro.. queria saber se tá certa, e se n estiver, se poderiam corrigir por favor..
"Mostre que para todo n natural (2+i)^n ≠ (2-1)^n"
Seja z = 2 + i = |z|. cis θ então z* = 2 - i = |z|.cis (-θ), 0 < θ < 2pi (as outras voltas trigonométricas são equivalentes), vou chamar z* de conjugado de z pq n sei escrever o z com a barrinha em cima rs rs
Para n = 0, o caso é trivial (Wolfram: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2Bi%29%5E0+%3D+%282-i%29%5E0)
Suponhamos por hipótese que (z)^n = (z*)^n, n natural maior do que zero.
(z)^n = (z*)^n ⇔ (|z|.cis θ)^n = (|z|.cis(-θ))^n ⇔ [|z|^n. cis(nθ)] = [|z|^n. cis(-nθ)] ⇔ |z|^n. cis(nθ)/|z^n|. cis(-nθ) = 1
⇔ cis(nθ)/cis(-nθ) = 1 ⇔ cis(2nθ) = 1 = cis 0º ⇔ 2nθ = 0º
⇔ n = 0, o que contraria a hipótese de que n é natural maior do que zero.
Logo, (2+i)^n ≠ (2-i)^n para n natural diferente de zero.
E aí gente? Minha resolução está correta?
Brigaada da ajuda pessoal, beeeijookkss
"Mostre que para todo n natural (2+i)^n ≠ (2-1)^n"
Seja z = 2 + i = |z|. cis θ então z* = 2 - i = |z|.cis (-θ), 0 < θ < 2pi (as outras voltas trigonométricas são equivalentes), vou chamar z* de conjugado de z pq n sei escrever o z com a barrinha em cima rs rs
Para n = 0, o caso é trivial (Wolfram: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2Bi%29%5E0+%3D+%282-i%29%5E0)
Suponhamos por hipótese que (z)^n = (z*)^n, n natural maior do que zero.
(z)^n = (z*)^n ⇔ (|z|.cis θ)^n = (|z|.cis(-θ))^n ⇔ [|z|^n. cis(nθ)] = [|z|^n. cis(-nθ)] ⇔ |z|^n. cis(nθ)/|z^n|. cis(-nθ) = 1
⇔ cis(nθ)/cis(-nθ) = 1 ⇔ cis(2nθ) = 1 = cis 0º ⇔ 2nθ = 0º
⇔ n = 0, o que contraria a hipótese de que n é natural maior do que zero.
Logo, (2+i)^n ≠ (2-i)^n para n natural diferente de zero.
E aí gente? Minha resolução está correta?
Brigaada da ajuda pessoal, beeeijookkss
Letícia Bittencourte- Padawan
- Mensagens : 94
Data de inscrição : 24/09/2014
Idade : 27
Localização : São Paulo, SP
Re: Números Complexos - Caio Guimarães - IME
Acredito que esteja porque também resolvi essa aí desse jeito hehehehe
Ashitaka- Monitor
- Mensagens : 4365
Data de inscrição : 12/03/2013
Localização : São Paulo
Re: Números Complexos - Caio Guimarães - IME
Obrigaada Ashitaka!
Só por pergntar, vc quer ita? rsrs beijokss
Só por pergntar, vc quer ita? rsrs beijokss
Letícia Bittencourte- Padawan
- Mensagens : 94
Data de inscrição : 24/09/2014
Idade : 27
Localização : São Paulo, SP
Re: Números Complexos - Caio Guimarães - IME
Sim, e pelo visto você também, certo? hahaha
Ashitaka- Monitor
- Mensagens : 4365
Data de inscrição : 12/03/2013
Localização : São Paulo
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