Complexos - Caio Guimarães II

Dados um ponto P sobre uma circunferência unitária e os vértices A1,A2,A3,...,An, de um polígono regular inscrito,  prove que PA1² + PA2² + PA3² +... + PAn² é constante.

Solução:
"Vamos considerar a circunferência unitária representada no plano complexo e os vértices A1,A2,A3,...,An, como sendo, portanto, as raízes n-ésimas da unidade. Ou seja:
A1 = 1, A2 = w, A3 = w², ...., An = w^n e (1+w+w²+w³+...+w^n) = 0"

Geente, n tem um erro nessa resolução dele?
se existem n raízes, e uma delas é um, restaram n-1 raízes (w,w²,w³,...w^n-1). An deveria ser An = w^n-1, certo? Pq ele coloca An = w^n? Se An = w^n, então haverão n+1 raízes contando com a raiz 1.... Então tem q ser An = w^n-1, n é?
Brigaaada geeente, beeijoks    

Letícia Bittencourte escreveu:. An deveria ser An = w^n-1, certo? Pq ele coloca An = w^n? Se An = w^n, então haverão n+1 raízes contando com a raiz 1.... Então tem q ser An = w^n-1, n é?

Sim, porque A1=1 na verdade é A1=W^0, sendo assim contamos de 0 até N, ou seja N+1 elementos.

Sim jango, n+1 elementos... mas o polígono só tem n vértices, e não n+1 vértices, e como cada vértice representa uma raiz então teríamos n+1 raízes o que contraria o dado do exercício (n vértices, n raízes)... logo, An = w^n-1, correto?

Sim, como queira, até pq lá na teoria das raízes enézimas o coeficiente de tais raízes varia de 0 até n-1, só que são n raízes até pq não há como existirem n+1 raízes em um polinomio de grau n. Vai ver foi até erro de digitação, o que é normal nos livros da vestseller.

O caio é um bom autor, mas todo mundo que eu conheço que já usou o livro dele em alguma parte da vida sabe mt bem que ele mangueia nas soluções. O que felizmente não é o caso desta.

sim jango, tem MUITOS erros de digitação! e esse capítulo de geometria com complexos n achei tão bom... faltam exemplos.. gostei mais do livro do tito andreescu nessa parte.


jango, pode me dar uma ajuda nessa outra questão dele?
https://pir2.forumeiros.com/t91600-complexos-caio-guimaraes
ficaria muuuito agradecida se puder me ajudar! msmo! 
beeeijookkss!