colisão

por Júnior Victor Sáb 16 maio 2015, 14:49

Considere duas partículas, m e M, inicialmente com velocidades unidimensionais u=0 e v.
Depois de certo tempo elas colidem elasticamente em uma dimensão.
Calcule as velocidades das partículas depois da colisão.

por **Carl Sagan** Dom 17 maio 2015, 01:33

Dados iniciais:

$\left\{\begin{matrix} \mathrr{\; \; \; \; \; \;}v, u=0 \; (iniciais)\\ v_{a}', v_{b}' \; (finais)\\ \mathrr{ \; \; \; \; Massas: M \ e \ m}\\ \mathrr{\; }e=1 \end{matrix}\right.\\$

Conservação de qdm, e dividindo tudo por m:

$\mathrr{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;}\vec{Q_{i}}=\vec{Q_{f}}\\\\ Mv+m \cdot 0=Mv_{a'}+mv_{b'}\\ \frac{M}{m}v=\frac{M}{m}v_{a'}+v_{b'}\mathrr{\; \; (i)}\\ e=\frac{v_{b'}-v_{a'}}{v} \; \; \mathrr{(com \; e=1)}\\ v=v_{b'}-v_{a'} \mathrr{\; \; (ii)}\\$

Fazendo (ii) - (i):

$\\(ii)-(i) \Rightarrow v-\frac{M}{m}v=v_{b'}-v_{a'}-\frac{M}{m}v_{a'}-v_{b'}\\ v(1-\frac{M}{m})=-v_{a'}(1+\frac{M}{m})\\\\$

va':

$\boxed{v_{a'}=v(\frac{M-m}{M+m})}$

Voltando na eq. (ii) e achando vb':

$v_{b'}=v_{a'}+v\\ \\ v_{b'}=v(\frac{M-m}{M+m})+v\\ v_{b'}=v(\frac{M-m}{M+m}+1)\\\\\\ \boxed{v_{b'}=v(\frac{2M}{M+m})}\\$

.