Equações irracionais

Quantas raízes reais possui a equação 

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

GABARITO: E

Multiplicando todos os termos por x² fica:
4x⁴+12x³-47x²+12x+4

O teorema das raizes racionais diz que se a equação admite o numero racional p/q como raiz, então a0 (4) é divisivel por p e an(4) é divisivel por q.

Assim, temos que os possivel valores das raizes racionais são todas as combinações possíveis que o numerador e denominador possam ser -4,-2,-1,1,2,4

Então fui testando pelos valores mais simples e vi que 1 e -1 não sao raizes, mas o 2 é. Entao usando o 2 pra diminuir o grau por Briot Ruffini, temos:

(x-2)(4x³+20x²-7x-2)

Agora naquela equação de terceiro grau, temos que as raizes racionais pode ter "-2,-1,1,2" como numerador e "-4,-2,-1,1,2,4" como denominador.
Sabendo que 1 e 2 nao podem ser, testei 1/2 e descobri que é raiz. Assim:

(x-2)(x-0.5)(4x²+20x-7)

O delta da equação do segundo grau é positivo, assim, tem-se mais duas raizes reais (que nao necessariamente são racionais).

Logo, temos 4 raizes ao todo

Vlw caique. Foi de grande ajuda.