Comprimento da altura

Dad um tetaedro de vértices A(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7) e D(-5,-4,8 ), calcular o coprimento da altura do vértice D.

Temos:

A(2,3,1)
B(4,1,-2)
C(6,3,7)
D(-5,-4,8 )

Seja o plano "alfa" definido pelos três pontos A, B e C
...................................._>...._>
determinação dos vetores: AB e AC:

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AB = ( 4-2, 1-3, - 2-1 ) = ( 2, - 2, - 3 )

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AC = ( 6-2, 3-3, 7-1 ) = ( 4, 0, 6 )
............................................................_>...._>
determinação do vetor n normal aos vetores AB e AC:


n = AB x AC = | - 2.....- 3..|.......|..2...... - 3..|.......|2........ -2..|
....................|..0........6..|* i -.|..4........6....|* j +|4..........0...|* k =


= ( - 12, - 24 , 8 )

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n = ( - 12, - 24, 8 )

assim, a equação do plano será:

- 12*x - 24*y + 8*z + d = 0

como o ponto A pertence ao plano então suas coordenadas devem satisfazer a equação:

- 12*2 - 24+3 + 8*1 + d = 0 => d = 88

equação do plano será:

- 12*x - 24*y + 8*z + 88 = 0

distância do ponto D( - 5, - 4, 8 ) ao plano "alfa":

......|.. - 12*( - 5) - 24*( - 4) + 8*( 8 ) + 88...|........... 308
d = -------------------------------------------- = ---------- = 11
......................\/( 12² + 24² + 8²...............................28