MHS (Olimpíada de Física da Colômbia)

Ao ponto O de uma parede que forma um pequeno ângulo α(alpha) com a vertical prende-se através de um fio de comprimento L uma bola. Logo, inclina-se o fio com a bola de um pequeno ângulo β(beta) (β > α) e solta-se. Considerando-se absolutamente elástico o choque da bola contra a parede, encontre o período das oscilações desse pêndulo.

Como o ângulo é pequeno, podemos considerar que , então podemos analisar pelo círculo trigonométrico como será o movimento desse M.H.S: 

Sendo  a amplitude do M.H.S, temos :

I) Caso não tivesse a parede ( Ou seja, a distância percorrida pela bola seria 4A) : 


No caso, a bola iria percorrer todo o arco, tendo um período de 

II) Com a parede, temos: 


Temos que o deslocamento da bola será 2A + 2X onde X é . Portanto, vemos que, no círculo, a bola não percorrerá o caminho em branco, logo, o arco percorrido pela circunferência é , portanto, seu período será: 



Logo : 



Mas sabemos T, que achamos em I, substituindo: 



Só que θ nós sabemos, que é θ=arcsin(x/A)=arcsin(α/β) , logo, temos que o período é :

Se tiver alguma dúvida, só dizer. 

"Como o ângulo é pequeno, podemos considerar que senX = X"
isso é alguma propriedade? nunca tinha ouvido falar, vale em todas as situações?


p.s : quando vi a foto de vocês 2 pensei que eram a mesma pessoa =O

Para ângulos pequenos, sim, é válido.

Considere o limite :

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1

Isso mostra que, para ângulos pequenos, a razão entre o seno de um ângulo x e o ângulo x se aproxima de 1, ou seja, o valor do seno do ângulo se aproxima do valor do próprio ângulo.

Mas então só pode-se considerar a relação senX = X para ângulos tendendo a zero em radianos , correto?

como é possível então afirmar que no caso, senB= B , se nada foi dito sobre B ? ele não poderia valer, 10º, por exemplo? que no caso não seria um ângulo pequeno.

Do enunciado: "...forma um pequeno ângulo \alpha..."; "...de um pequeno ângulo \beta..."

Por essas razões essa aproximação foi utilizada na resolução acima.

entendi 
Obrigado  :tiv:

Fiquei com uma dúvida, talvez na situação física. 
Depois de ela bater ela vai ter um período T' que será igual ao tempo para percorrer 2A+2X ?

Se for isso 
como que você montou isso ?




não entendi a continuação. Se conseguir me explicar fico grato.