Transformações e Espaços Lineares

1) Considere dois vetores (a,b) e (c,d) no plano. se ad - bc = 0 , mostre eles sao LD. se ad - bc  ≠ 0, mostre que eles são LI

Vamos pegar uma combinação linear desses vetores dando igual ao vetor nulo, então teremos:



Vemos que claramente uma solução possível é a solução trivial.

Então analisando o determinante da matriz dos coeficientes teremos que:

Se o determinante for igual a ZERO, então esse sistema terá solução única e essa solução será a trivial.

Se o determinante for diferente de ZERO, então esse sistema terá soluções além da trivial.

Assim:



Se ad-bc = 0, então os vetores são LD, pois a combinação linear deles dando o vetor nulo admite infinitas soluções.

Se ad-bc ≠ 0, então os vetores são LI, pois a combinação linear deles dando o vetor nulo só admite uma única solução que é a trivial.