Transformações e Espaços Lineares

por *bebelo34 Seg 16 Mar 2015, 15:56

1) Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaço

a) a) U = {(x,y,z,t) ∈ R^4|2x+y-t = 0 e z=o}

por **Jader** Seg 16 Mar 2015, 16:21

O vetor nulo está em U, pois 2(0) + (0) - (0) = 0.

Vamos ver se uma combinação linear de vetores de U permanece em U, ou seja, continua obedecendo a condição de 2x+y-t=0 e z=0.

Então seja u=(x1,y1,0,t1) e v=(x2,y2,0,z2) vetores de U e α,β reais, então vamos ver se αu + βv continua em U.

$\alpha u+\beta v=(\alpha x_{1}+\beta x_{2},\alpha y_{1}+\beta y_{2},0,\alpha z_{1}+\beta z_{2}) \\\\ z=0 \\e\\ 2(\alpha x_{1}+\beta x_{2})+(\alpha y_{1}+\beta y_{2})-(\alpha z_{1}+\beta z_{2})=0$

Como as condições de U foram mantidas, então concluímos que U é subespaço de $\mathbb{R}^{4}$

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