Ortocentro

Mostre que as 3 alturas de um triângulo qualquer se encontram em um único ponto ( o ortocentro). 

 Alguém consegue provar isso através da álgebra vetorial??

Seja os pontos A=(0,0), B=(x_1, 0), C=(x_2, y_2)
Qualquer triângulo pode ser expresso da forma, visto que se termos um ponto como a origem e um lado como como um dos eixos.
Temos então, que a altura ao lado AB que passa por C, é x=x_2
A reta BC é da forma
Perpendicular à reta BC passando por A:

A reta AC é da forma y=(y_2/x_2) x
A reta perpendicular a AC é da forma:

Como passa por B, então:

Então a reta perpendicular a AC passando por B:


Calculemos então o ortocentro, com as retas:
(I)      x = x_2                e y=(x_1-x_2).x / y_2
(II)     x = x_2                e y=(-x_2 . x)/y_2 + (x_1x_2/y_2)
(III)    y=(x_1-x_2).x/y_2 e y=(-x_2 . x)/y_2 + (x_1x_2/y_2)

De (I) temos:
y=(x_1-x_2).x_2/y_2 ---> y=(x_1.x_2/y_2) - (x_2²/y_2)
De (II) temos:
y=(-x_2 . x_2)/y_2 + (x_1x_2/y_2)---> y=(x_1x_2/y_2)-(x_2²/y_2)
De (III) temos:

Substituindo em qualquer fórmula, temos que será o ponto:


Portanto, todos os 3 pontos serão:



Todas as 3 alturas se encontram no ortocentro.

obrigado