Números Complexos
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Números Complexos
por Convidado Ter Nov 11 2014, 12:42
Considere z₁, z₂ e z₃ números complexos de módulo igual a 1 e z₁+z₂+z₃ = 0. Calcule o valor da expressão
z₁²+z₂²+z₃²
PS: não tenho o gabarito.
Obrigada!
z₁²+z₂²+z₃²
PS: não tenho o gabarito.
Obrigada!
Convidado- Convidado
Re: Números Complexos
por Robson Jr. Ter Nov 11 2014, 23:34
Oi, Feeh.
Vamos começar intuitivamente, forçando a aparição do que foi pedido:
^2=0&space;\&space;\therefore&space;\&space;z_1^2+z_2^2+z_3^2&space;=-2(z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3)&space;\text{&space;(Eq.1)} "\small (z_1+z_2+z_3)^2=0 \ \therefore \ z_1^2+z_2^2+z_3^2 =-2(z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3) \text{ (Eq.1)}")
Como os módulos dos complexos são unitários, podemos fazer um pequeno truque:
} "\small z_1+z_2+z_3=0 \\\\ \therefore \ \ \overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}=0 \\\\ \therefore \ \frac{\overline{z_1}}{|z_1|^2} + \frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2} + \frac{\overline{z_3}}{|z_3|^2} = 0 \\\\ \therefore \ \frac{\overline{z_1}}{z_1.\overline{z_1}} + \frac{\overline{z_2}}{z_2.\overline{z_2}}+\frac{\overline{z_3}}{z_3.\overline{z_3}}=0 \\\\ \therefore \ \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}=0 \\\\ \therefore \ \frac{z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3}{z_1z_2z_3}=0 \\\\ \therefore \ z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=0 \text{ (Eq. 2)}")
De (Eq. 1) e (Eq. 2):
Vamos começar intuitivamente, forçando a aparição do que foi pedido:
Como os módulos dos complexos são unitários, podemos fazer um pequeno truque:
De (Eq. 1) e (Eq. 2):
Robson Jr.- Fera
- Mensagens : 1263
Data de inscrição : 24/06/2012
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro, RJ
Tópicos semelhantesPiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
