Prisma Reto
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Prisma Reto
por Pietro di Bernadone Ter 27 Jul 2010, 11:36
Bom dia prezados usuários do Pir²!
Determine a área do triângulo A1A'2A'5 no prisma reto da figura abaixo, sabendo que a base é um pentágono regular de 1m de lado e que as arestas laterais medem 2m. Determine também a área do triângulo A1A'2A'4.
Certo de sua atenção,
Pietro di Bernadone
Determine a área do triângulo A1A'2A'5 no prisma reto da figura abaixo, sabendo que a base é um pentágono regular de 1m de lado e que as arestas laterais medem 2m. Determine também a área do triângulo A1A'2A'4.
Certo de sua atenção,
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Re: Prisma Reto
por Elcioschin Qua 28 Jul 2010, 14:10
(A1A'2)² = (A1A2)² + (A2A'2)² ----> (A1A'2)² = 1² + 2² ----> A1A'2 = V5
Idem ----> A1A'5 = V5
Ângulos internos do pentágono = 108º ----> ângulo A'1A'5A'2 = ângulo A'1A'2A'5 = 36º ---> cos36º = (V5 + 1)/2
A'1A'5 = 2*1*cos36º ----> A'1A'5 = 2*(V5 + 1)/2 ----> A'1A'5 = V5 + 1
Lei dos cossenos neste triângulo, sendo ângulo A'5A1A'2 = x:
(A'2A'5)² = (A1A'5)² + (A1A'2)² - 2*(A1A'5)*(A1A'2)*cosx ----> (V5 + 1)² = (V5)² + (V5)² - 2*(V5)*(V5)*cosx ---->
6 + 2*V5 = 10 - 10*cosx ----> 10*cosx = (4 - 2*V5) ----> cosx = (2 - V5)/5 ----> senx = 2*V(4 + V5)/5
Área de A1A'2A'5 -----> S = (A1*A'2)*(A1*A'5)*senx/2 ----> S = V5*V5*[2*V(4 + V5)/25]/2 ----> S = V(4 + V5)/5
Faça você o outro, de modo similar
Idem ----> A1A'5 = V5
Ângulos internos do pentágono = 108º ----> ângulo A'1A'5A'2 = ângulo A'1A'2A'5 = 36º ---> cos36º = (V5 + 1)/2
A'1A'5 = 2*1*cos36º ----> A'1A'5 = 2*(V5 + 1)/2 ----> A'1A'5 = V5 + 1
Lei dos cossenos neste triângulo, sendo ângulo A'5A1A'2 = x:
(A'2A'5)² = (A1A'5)² + (A1A'2)² - 2*(A1A'5)*(A1A'2)*cosx ----> (V5 + 1)² = (V5)² + (V5)² - 2*(V5)*(V5)*cosx ---->
6 + 2*V5 = 10 - 10*cosx ----> 10*cosx = (4 - 2*V5) ----> cosx = (2 - V5)/5 ----> senx = 2*V(4 + V5)/5
Área de A1A'2A'5 -----> S = (A1*A'2)*(A1*A'5)*senx/2 ----> S = V5*V5*[2*V(4 + V5)/25]/2 ----> S = V(4 + V5)/5
Faça você o outro, de modo similar
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Prisma Reto
por Pietro di Bernadone Ter 07 Set 2010, 22:08
Elcio,
compreendi os cálculos utilizados para se encontrar as medidas A1A'2 = V5 e A1A'5 = V5. A partir daí estou muito confuso na compreensão da resolução.
1ª dúvida - Como descobrir que os ângulos internos de um pentágono vale 108°?
2ª dúvida - Como sabe que o ângulo A'1A'5A'2 = ângulo A'1A'2A'5 = 36º?
Por favor, poderia me explicar o passo a passo da excelente resolução?
Ainda tenho muitas dúvidas em exercícios de Geometria e conto com sua atenção!
Atenciosamente,
Pietro di Bernadone
compreendi os cálculos utilizados para se encontrar as medidas A1A'2 = V5 e A1A'5 = V5. A partir daí estou muito confuso na compreensão da resolução.
1ª dúvida - Como descobrir que os ângulos internos de um pentágono vale 108°?
2ª dúvida - Como sabe que o ângulo A'1A'5A'2 = ângulo A'1A'2A'5 = 36º?
Por favor, poderia me explicar o passo a passo da excelente resolução?
Ainda tenho muitas dúvidas em exercícios de Geometria e conto com sua atenção!
Atenciosamente,
Pietro di Bernadone
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Re: Prisma Reto
por Euclides Ter 07 Set 2010, 22:34
Primeira dúvida:
____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
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Re: Prisma Reto
por Elcioschin Qua 08 Set 2010, 09:56
2ª dúvida - Como sabe que o ângulo A'1A'5A'2 = ângulo A'1A'2A'5 = 36º ?
O triângulo A'1A'2A'5 é isósceles, pois A'1A'2 = A'1A'5 = lado da base do prisma
Neste triângulo o ângulo diferente vale 108º. Seja x cada um dos dois ângulos iguais:
x + x + 108º = 180º ----> 2x = 72º -----> x = 36º
E depois
cos36º = (V5 + 1)/2 ----> Qualque livro de geometria tem esta demonstração a partir do cálculo do decágono regular.
Lei dos cossenos: idem
O triângulo A'1A'2A'5 é isósceles, pois A'1A'2 = A'1A'5 = lado da base do prisma
Neste triângulo o ângulo diferente vale 108º. Seja x cada um dos dois ângulos iguais:
x + x + 108º = 180º ----> 2x = 72º -----> x = 36º
E depois
cos36º = (V5 + 1)/2 ----> Qualque livro de geometria tem esta demonstração a partir do cálculo do decágono regular.
Lei dos cossenos: idem
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Pq que A'1A'5 não pode ser considerado igual 1 , pois é o lado do pentagono da base
por braga Sáb 15 Out 2011, 18:03
Pietro di Bernadone escreveu:Bom dia prezados usuários do Pir²!
Determine a área do triângulo A1A'2A'5 no prisma reto da figura abaixo, sabendo que a base é um pentágono regular de 1m de lado e que as arestas laterais medem 2m. Determine também a área do triângulo A1A'2A'4.
Certo de sua atenção,
Pietro di Bernadone
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Re: Prisma Reto
por Elcioschin Sáb 15 Out 2011, 21:42
Foi erro de digitação: no lugar de A'1 o correto é A'2:
A'2A'5 = 2*1*cos36º ----> A'2A'5 = 2*(V5 + 1)/2 ----> A'2A'5 = V5 + 1
A'2A'5 = 2*1*cos36º ----> A'2A'5 = 2*(V5 + 1)/2 ----> A'2A'5 = V5 + 1
Elcioschin- Grande Mestre
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