Taxa Aparente e Taxa Real

Uma pessoa, vislumbrando uma excelente oportunidade de aplicação financeira no Banco B, obteve um empréstimo junto ao Banco A. A taxa de juros oferecida pelo Banco A foi de 48%a.a. com capitalização mensal. A aplicação financeira do Banco B foi efetuada a uma taxa “over” de 19,28415%a.a., mais a variação do IGPE (Índice Geral de Preços do Exercício). O prazo da aplicação financeira foi o mesmo do empréstimo, sendo que neste período ocorreram 43 dias úteis. O resgate da operação financeira é efetuado com a retenção do Imposto de Renda na Fonte à alíquota de 35% e incide sobre o ganho real obtido (valor que supera a correção pela UFIR). Os valores dos diversos índices nas diversas datas são apresentados a seguir: 

Data      Valor da UFIR    Valor do IGPE     Valor do IGPR
25.04       0,5802               1,0407                2,1322
24.06       0,6020               1,1088                2,2793   

As duas operações foram efetuadas no dia 25/04 e liquidadas no dia 24/06.
Pede-se:

a) Quais as taxas de juros efetivas (aparentes), expressas em percentual ao ano, nas duas operações (Banco A e Banco B)? R.: iA= 60,10%a.a. ; iB= 55,92%a.a.
b) Se a pessoa considera que a melhor medida da inflação é dada pelo IGPR (Índice Geral de Preços da Realidade), quais foram as taxas reais de juros das duas operações, em termos de taxa anual? R.: rA= 7,29%a.a. ; rB= 4,49%a.a.

Nossa!
Parece Contabilidade!!!

Gimazzotto escreveu:Uma pessoa, vislumbrando uma excelente oportunidade de aplicação financeira no Banco B, obteve um empréstimo junto ao Banco A. A taxa de juros oferecida pelo Banco A foi de 48%a.a. com capitalização mensal. A aplicação financeira do Banco B foi efetuada a uma taxa “over” de 19,28415%a.a., mais a variação do IGPE (Índice Geral de Preços do Exercício). O prazo da aplicação financeira foi o mesmo do empréstimo, sendo que neste período ocorreram 43 dias úteis. O resgate da operação financeira é efetuado com a retenção do Imposto de Renda na Fonte à alíquota de 35% e incide sobre o ganho real obtido (valor que supera a correção pela UFIR). Os valores dos diversos índices nas diversas datas são apresentados a seguir: 

Data      Valor da UFIR    Valor do IGPE     Valor do IGPR
25.04       0,5802               1,0407                2,1322
24.06       0,6020               1,1088                2,2793   

As duas operações foram efetuadas no dia 25/04 e liquidadas no dia 24/06.
Pede-se:

a) Quais as taxas de juros efetivas (aparentes), expressas em percentual ao ano, nas duas operações (Banco A e Banco B)? R.: iA= 60,10%a.a. ; iB= 55,92%a.a.
b) Se a pessoa considera que a melhor medida da inflação é dada pelo IGPR (Índice Geral de Preços da Realidade), quais foram as taxas reais de juros das duas operações, em termos de taxa anual? R.: rA= 7,29%a.a. ; rB= 4,49%a.a.

Olá.

Isso é o que se pode chamar de problema problemático.

De onde você retirou essa maravilha confusa?

Veja o que consegui fazer:

a) Quais as taxas de juros efetivas (aparentes), expressas em percentual ao ano, nas duas operações 
(Banco A e Banco B)? R.: iA= 60,10%a.a. ; iB= 55,92%a.a.

Banco A:

48%a.a. = 48%/12 a.a. = 0,04 a.m. 
n = 60 dias = 2 meses

ief = (1+i)^n-1
---->
ief = (1 + 0,04)^12-1 a.a. = 1,04^12-1 a.a. = 1,04^12-1 a.a. = 0,6010 a.a. = 0,6010*100 = 60,10% a.a.--->resposta


Banco B:

n = dc = 60 dias
du = 43 dias

Tx over = 19,28415%/360*60 a.d. = 0,03214026 a.d.

ief = (1+0,03214026/30)^(43*30/60) - 1 a.m.= 1,0011^21,5 - 1 a.m.= 0,0239 a.m.
---->
ief = (1+0,0239)^2 - 1 a.p. = 0,0484 a.p.


Composição da taxa com a variação do IGPE:

1,1088/1,0407 = 1,06543673
---->
1,0484*1,0654 - 1 = 0,1170 a.p.


Valor da taxa sem a UFIR:

0,6020 / 0,5802 - 1 = 0,0376 a.p.
---->
0,1170*(1- 0,0376) = 0,1126 a.p.


Valor da taxa sem imposto de renda:

0,1126*(1 - 0,35) = 0,0732 a.p.
---->
ief = (1 + 0,0732)^(1/12) - 1 a.m. = 1,0732^(1/2) - 1 = 0,0360 a.m.
---->
ief = 1,0360^12 - 1 a.m. = 0,5287 a.a. = 0,5287*100 a.a. = 52,87% a.a.--->resposta


b) Se a pessoa considera que a melhor medida da inflação é dada pelo IGPR (Índice Geral de Preços 
da Realidade), quais foram as taxas reais de juros das duas operações, em termos de taxa anual?
R.: rA= 7,29%a.a. ; rB= 4,49%a.a.

Variação do IGPR:

IGPR = 2,2793/2,1322 - 1 = 0,0690 a.p.
---->
IGPR = (1+0,0690)^6 - 1 = a.a. = 1,0690^6 - 1 a.a. = 0,4923 a.a.


Fórmula da taxa real: ir = (1 + ief)/(1 + IGPR) - 1


Banco A:

ief = 60,10% a.a.
IGPR = 0,4923 a.a.
ir = ?

ir = (1 + 60,10%)/(1 + 0,4923) - 1
---->
ir = 1,6010/1,4923 - 1
---->
ir = 1,0728 - 1
---->
ir = 0,0728 = 0,0728*100 = 7,28% a.a.---->resposta


Banco B:

IGPR = 0,0690 a.p.

Taxa + IGPE = 0,1170 a.p.(vide cálculo acima)

Deduzindo o valor do IR, temos:

ief = 0,1170*(1 - 0,35) = 0,0761 a.p.

Aplicando a fórmula ir = (1 + ief)/(1 + IGPR) - 1, vem:

ir = (1 + 0,0761)/(1 + 0,0690) - 1
---->
ir = 1,0761/1,0690 - 1
---->
ir = 1,007 - 1
---->
ir = 0,007 a.p.
---->
ir = (1+ 0,007)^6 - 1
---->
ir = 1,007^6 - 1
---->
ir = 1,043 - 1
---->
ir = 0,043 a.a. = 4,30% a.a.----->resposta


Um abraço.