volume do sólido

por IOCLEYA MARTINS Sex 31 Out 2014, 12:08

encontre o volume do sólido limitado abaixo pela esfera x² + y² +z² = 2z e acima pelo cone z = raiz x² + y² .

por Man Utd Sáb 01 Nov 2014, 17:48

Olá

Esboçe a esfera e o cone.Então vamos passar a coordenadas esféricas :

$\\\\\\ x= \rho \sin\left( \phi \right ) \cos \left( \theta \right ) \\ y=\rho \sin\left( \phi \right ) \sin \left( \theta \right ) \\ z= \rho \cos \left( \phi \right )$

Pelo esboço podemos perceber que $\\\\\\ 0 \leq \theta \leq 2\pi$ .Passando do cone em coordenadas esféricas:

$\\\\\\ \rho \cos \left( \phi \right ) =\sqrt{\left( \rho \sin \left( \phi \right ) \cos \left( \theta \right ) \right )^2+\left( \rho \sin \left( \phi \right ) \sin \left( \theta \right ) \right )^2} \\\\\\ \rho \cos \left( \phi \right )=\rho \sin \left(\phi \right ) \\\\\\ \cos \left( \phi \right )= \sin \left( \phi \right) \\\\\\ \phi =\frac{\pi}{4}$

logo a variação de phi é: $\\\\\\ 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}$ .

Passando a esfera para coordenadas esféricas :

$\\\\\\ x^2+y^2+z^2=2z \\\\\\ \rho^{2} \sin^{2} \left( \phi \right ) \cos^{2} \left( \theta \right ) + \rho^{2} \sin^{2} \left( \phi \right ) \sin^{2} \left( \theta \right ) + \rho^{2} \cos^{2} \left( \phi \right) =2\rho \cos \left( \phi \right ) \\\\\\ \rho^{2} \sin^{2} \left( \phi \right ) \left( \cos^{2} \left( \theta \right ) + \sin^{2}\left( \theta \right ) \right) + \rho^{2} \cos^{2} \left( \phi \right) =2\rho \cos \left( \phi \right ) \\\\\\ \rho^{2} \sin^{2} \left( \phi \right ) + \rho^{2} \cos^{2} \left( \phi \right) =2\rho \cos \left( \phi \right ) \\\\\\ \rho^{2} =2\rho \cos \left( \phi \right )$

$\\\\\\ \rho =2\cos \left( \phi \right )$

Logo a variação do raio é : $\\\\\\ 0 \leq \rho \leq 2\cos \left( \phi \right )$ e o Jacobiano é : $\\\\\\ J= \rho^{2} \sin \left( \phi \right )$ , logo a integral tripla é:

$\\\\\\ \int_{0}^{2\pi} \; \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\; \int_{0}^{2 \cos \left( \phi \right )}\rho^{2} \sin \left( \phi \right ) \; d\rho d \phi d \theta$

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