Função

por Chronoss Qua 17 Set 2014, 09:37

Seja f: R --> R , uma função definida por :

   (x+a)/(x+b) , se x é diferente de -b
f(x) =
           -1   , se x é igual a -b

Se f(f(x)) = x , para todo x real , encontre o valor de   ab .

por **LPavaNNN** Qui 18 Set 2014, 17:06

se f(f(x))=x, então f(f(x)), é função inversa de f(x).

$y=\frac{x+a}{x+b}\\yx+yb=x+a\\x(y-1)=a-yb\\x=\frac{a-yb}{y-1}\\f^{-1}(x)=\frac{a-xb}{x-1}$

como a inversa é igual à f(f(x)), temos :

$\frac{a-xb}{x-1}=\frac{f(x)+a}{f(x)+b}=(\frac{x+a}{x+b}+a)/(\frac{x+a}{x+b}+b)\\\frac{a-xb}{x-1}=\frac{x+a+a(x+b)}{x+a+b(x+b)}\\x=-b\\\frac{a+b^2}{-b-1}=\frac{-b+a+a(-b+b)}{-b+a+b(-b+b)}\\\frac{a+b^2}{-b-1}=1\\a+b^2=-b-1\\b^2+b+(1+a)=0\\1-4(1+a)=0\\4+4a=1$

$a=\frac{-3}{4}\\b=\frac{-1}{2}\\ab=\frac{3}{8}$

testando :
$f(f(x))=\frac{1}{2}\\\frac{f(x)+a}{f(x)+b}=\frac{1}2\\2f(x)+2a=f(x)+b\\-2+2a=-1+b\\2a-b=-1\\2.\frac{-3}{4}+\frac{1}{2}=-1$

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