função composta e função inversa (EsPCEx)

por asffjkkl Qua 15 Mar 2017, 01:49

Sejam as funções f:R→ [-3,+∞ [ e g:R+→ [2,+∞ [, definidas respectivamente por f(x)=3x^2-3 e g(x)=2x^2+2. Se h(x)=g(f(x)), então o valor de h^-1(10), onde h^-1(x) é a função inversa de h(x), é:

a)√10/3 b)√13/2 c)√15/5 d)√15/3 e)√13/3

resposta:d

por **petras** Qua 15 Mar 2017, 10:21

\\g(f(x)) = 2(3x^2-3)^2+2 = 18x^4-36x^2+20 = h(x)\\\ Fazendo\ q = x^2 \rightarrow h(q)=18q^2-36q+20

Eu cheguei atá aqui, agora compartilho a solução do colega "csmarcelo":

Por definição:

Se f(a)=b , então f′(b)=a → Se h′(10)=q, então h(q)=10

\\18q^2-36q+20=10 \rightarrow q_{1}=\frac{1}{3} \ e\ q_{2}=\frac{5}{3}\\\ x_{1}= =\underline+\frac{\sqrt{3}}{3} \ e\ x_{2}=\underline+ \frac{\sqrt{15}}{3}

Função Composta:
D(gof) = D(f)
Im(gof) = Im(g)
∃ gof → Im(f) ⊂ D(g)

Função Inversa:
D(f) = Im(f')
Im(f)=Dm(f')

Assim teremos: Im (h')=D(h)=D(f) → Im(h')=[0;+ ∞)
Mas, para atender a condição ∃gof→Im(f)⊂D(g) das funções compostas, devemos ter f(x) ≥ 0 → x ≥ 1→ Im(h')=[1;+∞) portanto a solução que atende é \frac{\sqrt{15}}{3}

por asffjkkl Qua 15 Mar 2017, 13:01

muito obrigado amigo!

por Kowalski Qui 30 Mar 2017, 07:15

o domínio da função F é R+

AI FIQUEI COM DÚVIDA NESSA PARTE

Assim teremos: Im (h')=D(h)=D(f) → Im(h')=]0;+ ∞)

A IM(H`) NÃO SERIA [0;+ INFINITO) ??? POIS R+ SÃO VALORES POSITIVOS E O ZERO É POSITIVO

R+ = {x função composta e função inversa (EsPCEx) Pertence

R | x

0}

OUTRA DÚVIDA

f(x)>0→ x>1→ Im(h')=]1;+∞)

SE EU DISSER QUE X>= 2 ESTARIA CERTO TBM??

IM(H`) = [2;+ INFINITO)

POIS COMO SÃO NÚMEROS REAIS ENTÃO O 1,1 ;1,2 .... SERVIRIA SE FOSSE >1

PORÉM A IMAGEM DO GOF = IM( G) = IM (H´) = IM (H)

E A IMAGEM DO G SÓ ACEITA VALORES MAIORES E IGUAIS A 2

por **petras** Qui 30 Mar 2017, 13:33

Havia alguns erros na digitação e foram corrigidos.

A 1 dúvida você está correto. Verifique as correções

A outra dúvida:IMAGEM DO GOF = IM( G) = IM (H´) = IM (H) você deve ter se baseado no que estava postado antes mas Im(h') ≠ Im(h) (já foi corrigido) e portanto não pode chegar a sua conclusão.

Verifique as correções e se permaneceu alguma dúvida.

por Kowalski Qui 30 Mar 2017, 14:31

Mas, para atender a condição ∃gof→Im(f)⊂D(g) das funções compostas, devemos ter f(x) ≥ 0 → x ≥ 1→ Im(h')=[1;+∞)

a imagem de f tem que está contida dentro do domínio do g

então [-3,+∞ [ C R+

LOGO PARA F ESTÁ CONTIDA ALI PRECISAMOS QUE O F(X) SEJA MAIOR OU IGUAL A ZERO

ATÉ AI EU ENTENDI

AGORA O X>=1 EU NÃO ENTENDI

TIPO O QUE EU PENSEI FOI O SEGUINTE TBM
SE EU JOGAR O 0 DENTRO DA EQUAÇÃO H(X) = 18X^4 ....... AI H(0) = 20 , TENTEI VERIFICAR SE COM X = 0 O F(X) SERIA MAIOR OU IGUAL A ZERO MAS ME EMBOLEI TODO ...

TIPO ME PERDI MESMO NO X>=1

por **petras** Qui 30 Mar 2017, 15:34

f(x) =3x^2 -3 >= 0 --> 3x^2 >3 --> x^2 > =1 x<=-1 (Não atende pois D(g) >=0) ou x >=1 (ok)

por Kowalski Qui 30 Mar 2017, 16:24

entendi , muito obrigado !!!!!!

por Jvictors021 Qui 29 Jul 2021, 11:18

petras escreveu:\\g(f(x)) = 2(3x^2-3)^2+2 = 18x^4-36x^2+20 = h(x)\\\ Fazendo\ q = x^2 \rightarrow h(q)=18q^2-36q+20

Eu cheguei atá aqui, agora compartilho a solução do colega "csmarcelo":

Por definição:

Se f(a)=b , então f′(b)=a → Se h′(10)=q, então h(q)=10

\\18q^2-36q+20=10 \rightarrow q_{1}=\frac{1}{3} \ e\ q_{2}=\frac{5}{3}\\\ x_{1}= =\underline+\frac{\sqrt{3}}{3} \ e\ x_{2}=\underline+ \frac{\sqrt{15}}{3}

Função Composta:
D(gof) = D(f)
Im(gof) = Im(g)
∃ gof → Im(f) ⊂ D(g)

Função Inversa:
D(f) = Im(f')
Im(f)=Dm(f')

Assim teremos: Im (h')=D(h)=D(f) → Im(h')=[0;+ ∞)
Mas, para atender a condição ∃gof→Im(f)⊂D(g) das funções compostas, devemos ter f(x) ≥ 0 → x ≥ 1→ Im(h')=[1;+∞) portanto a solução que atende é \frac{\sqrt{15}}{3}

Amigo, entendi a propiedade,mas minha dúvida é: por que h^-1 (10) = q ??? somente isso, visto que partindo desse ponto chegaremos na h(t) = 10 assim podendo igualar a equação 18q^2 - 36t + 20