Demonstração |z +w| = |z|.|w| ?

por vinicius89 Dom 31 Ago 2014, 20:48

Sendo z e w números complexos...

Alguem poderia me demonstrar : |z +w| = |z|.|w| ?

Não tenho no meu livro e não acho na internet...

por **Ashitaka** Dom 31 Ago 2014, 21:27

z = a + bi
w = c + di

|z+w|² = |a+c+i(b+d)|² = (a+c)² + (b+d)² = a²+b²+c²+d²+2(ac+bd)

|z|²|w|² = (a²+b²)(c²+d²) = (ac)²+(ad)²+(bc)²+(bd)²

Portanto a²+b²+c²+d²+2(ac+bd) ≠ (ac)²+(ad)²+(bc)²+(bd)²

Quando vi o enunciado, achei que era falso e, de fato, é. Eu mesmo nunca tinha visto esta "propriedade" também. Só para garantir que é falso, substituí a, b, c e d por valores no wolfram e deu falso.
Clique aqui para ver.

por vinicius89 Dom 31 Ago 2014, 23:05

Eu escrevi exatamente como estava no livro do meu cursinho...

Obrigado Ashitaka..

por PedroCunha Dom 31 Ago 2014, 23:19

O correto deve ser |z*w| = |z| * |w|

por **Elcioschin** Seg 01 Set 2014, 09:35

Concordo com o Pedro:

|z.w| = |z|.|w|

|(a + bi).(c + di)| = |a + bi|.|c + di|

|(ac - bd) + (ad + bc).i|² = |(a + bi|².(c + di)|²

(ac - bd)² + (ad + bc)² = (a² + b²).(c² + d²)

a²c² - 2abcd + b²d² + a²d² + 2abcd + b²c² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² ---> OK