Frações Algebricas III

Como D(x) é MMC de M(x) e L(x), então A(x) = MDC de M(x) e L(x).

Fatorando os polinômios para determinar A(x)
1º: M(x)= x⁴ -nx³-7n²x²+n³x+6n⁴
         x²         -nx          -6n²
         x²          0x            -n²
(cruza entre x²[cima] e 0x, x²[baixo) e -nx; etre 0x e -6n² e entre -nx e -n²)
M(x) = (x²-nx-6n²)(x²-n²)
M(x) = (x-3n)(x+2n)(x+n)(x-n)

2º: L(x)= x³+4nx²+n²x-6n³
Percebendo que n é raiz de L(x), temos:
L(n) = n³ + 4n³ + n³ - 6n³ = 0
Como n é raiz de L(x), (x-n) é fator de L(x).
L(x) = (x-n).q(x)
.'. q(x) = [L(x)]/(x-n)
Realizando a operação, temos:
q(x) = x² + 5nx + 6n² = (x+2n)(x+3n)
Então L(x) = (x-n)(x+2n)(x+3n).
Disso, concluímos que A(x) = MDC de M(x) e L(x) = (x+2n).(x-n)
Então [A(x)]/(x-3n) deixa resto A(3n)
Como A(3n) = (5n)(2n) = 10n²
.'. [A(x)]/(x-3n) deixa 10n² como resto.

Espero ter ajudado.